Дроби в школьном курсе математики¶

Дробь — это число, записанное в виде a/b, где a — числитель, b — знаменатель, а само число показывает долю единицы. В школьной программе России работа с дробями начинается ещё в начальной школе (обыкновенные дроби, доли), а в 5 классе курс математики (авторы Виленкин, Жохов и др.) систематизирует это знание: дроби переводят в десятичные, сравнивают, складывают, вычитают, умножают и делят, решают задачи. Знание дробей необходимо для алгебры, геометрии, физики и химии в старших классах.

¶Основные понятия

Обыкновенная дробь m/n состоит из числителя (m) и знаменателя (n). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена единица, числитель — сколько таких частей взято.

• Правильная дробь: |m| < |n| (значение меньше единицы по модулю).
• Неправильная дробь: |m| ≥ |n| (значение не меньше единицы).
• Смешанное число: сумма целой части и правильной дроби, например 2 3/4 = 2 + 3/4.
• Десятичная дробь: запись вида 3,14 (через запятую в русской записи).
• Эквивалентные (равные) дроби: 1/2 = 2/4 = 3/6 — получаются умножением числителя и знаменателя на одно и то же число.

¶Сокращение и приведение к общему знаменателю

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД). Например, 18/24: НОД(18, 24) = 6, поэтому 18/24 = 3/4.

Общий знаменатель для двух дробей a/b и c/d обычно берут как НОК(b, d). Для 1/3 и 2/5: НОК(3, 5) = 15, значит 1/3 = 5/15, 2/5 = 6/15.

¶Сложение и вычитание дробей

Одинаковые знаменатели: складывают (вычитают) числители, знаменатель остаётся прежним: 3/7 + 2/7 = 5/7.

Разные знаменатели: сначала приводят к общему знаменателю, затем действуют как в предыдущем случае: 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15.

Смешанные числа: можно переводить в неправильные дроби (2 1/4 = 9/4) или складывать целые и дробные части отдельно. При вычитании из целого числа его записывают как дробь с нужным знаменателем: 5 − 1 2/3 = 5 − 5/3 = 15/3 − 5/3 = 10/3 = 3 1/3.

¶Умножение дробей

Правило: числители умножаются между собой, знаменатели — между собой: a/b × c/d = (a·c)/(b·d).

Пример: 2/3 × 4/5 = 8/15.

Умножение на целое число: 5 × 2/7 = 10/7 = 1 3/7.

Перед умножением удобно сокращать дроби: 4/9 × 3/8 → сократить 4 и 8 на 4, 3 и 9 на 3 → 1/3 × 1/2 = 1/6.

Умножение смешанных чисел: 2 1/2 × 1 1/4 = 5/2 × 5/4 = 25/8 = 3 1/8.

¶Деление дробей

Правило: деление на дробь равно умножению на её обратную величину (перевёрнутую дробь): a/b ÷ c/d = a/b × d/c.

Пример: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8.

Деление на целое число: 5/6 ÷ 3 = 5/6 × 1/3 = 5/18.

При делении смешанных чисел их сначала переводят в неправильные дроби: 3 3/4 ÷ 1 1/2 = 15/4 ÷ 3/2 = 15/4 × 2/3 = 30/12 = 5/2 = 2 1/2.

¶Сравнение дробей

• С одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель: 5/9 > 4/9.
• С одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель: 3/5 > 3/7.
• С разными знаменателями приводят к общему знаменателю и сравнивают числители, либо используют перекрёстное умножение: сравнить 3/7 и 4/9 → 3·9 = 27, 4·7 = 28, значит 3/7 < 4/9.

¶Перевод между обыкновенными и десятичными дробями

Обыкновенную в десятичную: 3/4 = 3 : 4 = 0,75.

Десятичную в обыкновенную: 0,25 = 25/100 = 1/4 (сокращение).

¶Типичные ошибки

• Сложение дробей с разными знаменателями без приведения к общему знаменателю (1/2 + 1/3 ≠ 2/5).
• Умножение числителей между собой и знаменателей между собой при сложении (это правило только для умножения).
• Забывание сокращения при умножении, из-за чего получаются громоздкие ответы.
• Ошибка при вычитании смешанных чисел, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого (5 1/4 − 2 3/4): нужно занять единицу, 5 1/4 = 4 5/4, тогда 4 5/4 − 2 3/4 = 2 2/4 = 2 1/2.

¶Задачи из учебников 5 класса

Типовые задачи: найти треть числа, разделить отрезок на части в заданном отношении, вычислить долю заполненности, найти скорость при известном расстоянии и времени (расстояние делят на время, часто получая дробное значение). Пример: «Автомобиль проехал 120 км за 2,5 часа. Средняя скорость?» → 120 : 2,5 = 48 км/ч; если время 2 1/2 часа, его записывают как 5/2 и делят: 120 ÷ 5/2 = 120 × 2/5 = 48.

Источники:

• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 5 класс» (учебник для общеобразовательных организаций).
• Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Математика. 5 класс».
• Рабочие программы по математике для 5–9 классов (ФГОС).
• Школьный курс арифметики: дроби, пропорции, проценты.