Умножение в арифметике и алгебре¶

Умножение — одна из основных бинарных арифметических операций, ставящая в соответствие двум числам (множителям) третье число (произведение). Для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение: произведение \(a \cdot b\) равно сумме \(b\) слагаемых, каждое из которых равно \(a\). Умножение обозначается знаком «×», точкой «·» или (в алгебре) простым примыканием множителей друг к другу. Наряду со сложением, вычитанием и делением оно входит в четвёрку элементарных арифметических действий и служит основой для более сложных разделов математики — алгебры, анализа, линейной алгебры.

¶История

Потребность в умножении возникла вместе с задачами счёта и измерения: вычисление площадей полей, объёмов зерна, распределение податей, торговые расчёты. В Древнем Египте и Вавилоне применяли таблицы и приёмы удвоения. В Древней Греции и Риме умножение выполняли на счётных досках — абаках.

Привычные десятичные таблицы умножения, известные как «таблица Пифагора», получили распространение в Европе в Средние века, хотя аналогичные таблицы существовали в Китае и Индии значительно раньше. В индийской математике, откуда в Европу пришла позиционная десятичная система, умножение уже рассматривалось как самостоятельное действие с чётким алгоритмом. Знак «×» ввёл в 1631 году английский математик Уильям Отред, точку «·» использовал Готфрид Лейбниц, а примыкание множителей закрепилось в алгебраической записи.

¶Свойства

Для чисел умножение обладает набором фундаментальных свойств, которые в абстрактной алгебре кладутся в основу определения операции:

Коммутативность: \(a \cdot b = b \cdot a\).
Ассоциативность: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).
Дистрибутивность относительно сложения: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).
Нейтральный элемент: умножение на единицу не меняет число, \(a \cdot 1 = a\).
Поглощающий элемент: умножение на ноль даёт ноль, \(a \cdot 0 = 0\).
Обратный элемент: для любого ненулевого числа существует обратное, произведение которых равно единице.

Эти свойства выполняются для целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. В некоммутативных структурах, например в алгебре матриц, порядок множителей существенен: \(A \cdot B\) и \(B \cdot A\) могут различаться.

¶Виды и обобщения

Умножение определено не только для чисел:

Умножение матриц — операция в линейной алгебре, лежащая в основе решения систем линейных уравнений.
Скалярное и векторное произведение векторов в геометрии и физике.
Умножение многочленов — операция в алгебре, подчиняющаяся тем же законам дистрибутивности.
Умножение в теории групп и колец — абстрактное обобщение, где свойства операции задаются аксиоматически.
Умножение множеств (декартово произведение) — операция над множествами в теории множеств.

В теории чисел отдельно изучают умножение по модулю, а также свойства делимости, связанные с произведением.

¶Умножение в России: обучение и традиция

В российской школе таблица умножения изучается во втором классе начальной школы и заучивается наизусть — это один из базовых навыков устного счёта. Традиционно используется таблица от 1 до 10, реже до 20. В советских и российских учебниках арифметики (например, в учебниках А. С. Пчёлко, а позднее — в учебниках математики для начальной школы) умножение вводится через сложение одинаковых слагаемых, после чего закрепляется переместительный закон.

В дореволюционной России умножение преподавалось по учебникам арифметики, среди которых были широко известны труды Леонтия Магницкого («Арифметика», 1703) — первого печатного русского учебника математики. Его «Арифметика» более полувека служила основным пособием и содержала подробные правила умножения многозначных чисел.

¶Вычислительные приёмы

Устный счёт: разложение множителей, использование круглых чисел, приёмы вроде умножения на 5, 9, 11.
Умножение «столбиком» — поразрядный алгоритм, стандартный в школьной программе.
Русский крестьянский способ (метод удвоения и деления пополам) — исторический алгоритм, применявшийся в крестьянской среде и основанный на двоичном представлении.
Логарифмический метод: до появления калькуляторов умножение сводили к сложению логарифмов с помощью таблиц.
Логарифмическая линейка — инструмент, позволявший быстро умножать и делить числа.

В вычислительной технике умножение реализуется в арифметико-логическом устройстве процессора; для повышения скорости применяются аппаратные умножители и алгоритмы вроде метода Бута.

¶Значение

Умножение — базовый инструмент количественного описания: оно используется при вычислении площадей и объёмов, в физике (произведение силы на путь, массы на ускорение), в экономике (расчёт стоимости, процентов), в программировании и статистике. В математическом образовании умножение служит первым примером операции с законами, которые затем обобщаются в абстрактной алгебре. Понимание умножения как операции над элементами произвольной природы — один из ключевых шагов от арифметики к высшей математике.

Источники: учебники арифметики и алгебры для средней школы; «Арифметика» Л. Ф. Магницкого; энциклопедические словари по математике; работы по истории математики.