Двойной интеграл в математике¶

Двойной интеграл — это обобщение понятия определённого интеграла на функции двух переменных, определяемое как предел интегральных сумм по разбиению плоской области. Он применяется для вычисления объёмов тел, площадей поверхностей, масс, центров тяжести и других величин, связанных с распределением характеристики по двумерной области.

¶Определение

Пусть в замкнутой ограниченной области \(D\) плоскости задана функция \(f(x, y)\). Область разбивается на \(n\) элементарных частей с площадями \(\Delta S_i\), в каждой части выбирается произвольная точка \((\xi_i, \eta_i)\). Составляется интегральная сумма

\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta S_i. \]

Если при стремлении наибольшего диаметра разбиения к нулю эта сумма стремится к одному и тому же пределу, не зависящему ни от способа разбиения, ни от выбора точек, то этот предел называется двойным интегралом:

\[ \iint\limits_{D} f(x, y)\,dx\,dy. \]

Функция при этом называется интегрируемой в области \(D\). Достаточным условием интегрируемости служит непрерывность \(f\) в замкнутой ограниченной области.

¶Геометрический и физический смысл

Если \(f(x, y) \ge 0\), двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела — тела, ограниченного снизу областью \(D\) в плоскости \(Oxy\), сверху — поверхностью \(z = f(x, y)\), а с боков — цилиндрической поверхностью с направляющей по границе \(D\). При \(f(x, y) = 1\) интеграл даёт площадь области \(D\).

В физике двойной интеграл применяется, когда величина распределена по поверхности или по плоской пластине. Если \(f\) — поверхностная плотность, то интеграл равен массе пластины; через аналогичные интегралы выражаются статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести.

¶Свойства

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными определённому интегралу:

• линейность: интеграл от суммы и от произведения на постоянную;
• аддитивность по области: при разбиении \(D\) на части без общих внутренних точек интегралы складываются;
• монотонность: если \(f \le g\) в \(D\), то соответствующие интегралы связаны тем же неравенством;
• оценка модуля: модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля;
• теорема о среднем: при непрерывной \(f\) существует точка, в которой значение функции равно среднему значению по области.

¶Вычисление через повторный интеграл

Основной практический способ вычисления — сведение к двукратному (повторному) интегрированию. Если область \(D\) правильна в направлении оси \(Oy\), то есть описывается неравенствами \(a \le x \le b\), \(y_1(x) \le y \le y_2(x)\), то

\[ \iint\limits_{D} f(x, y)\,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b} dx \int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y)\,dy. \]

Внутренний интеграл берётся по \(y\) при фиксированном \(x\), затем результат интегрируется по \(x\). Если область правильна в направлении \(Ox\), порядок интегрирования меняется. Для прямоугольной области \(a \le x \le b\), \(c \le y \le d\) пределы обоих интегралов постоянны.

¶Замена переменных

При переходе к новым переменным \(x = x(u, v)\), \(y = y(u, v)\) элемент площади преобразуется с множителем — якобианом перехода:

\[ dx\,dy = |J|\,du\,dv, \qquad J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}. \]

Наиболее употребителен переход к полярным координатам \(x = r\cos\varphi\), \(y = r\sin\varphi\), где якобиан равен \(r\). Тогда

\[ \iint\limits_{D} f(x, y)\,dx\,dy = \iint\limits_{D'} f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)\,r\,dr\,d\varphi. \]

Полярные координаты удобны для областей, ограниченных окружностями, и для подынтегральных функций, зависящих от \(x^2 + y^2\). Аналогично применяются цилиндрические и сферические координаты в трёхмерных обобщениях.

¶Применение

Двойные интегралы используются в геометрии для вычисления площадей плоских фигур и объёмов, площадей криволинейных поверхностей, в механике — для масс, моментов и центров тяжести плоских пластин, в теории поля — при выводе формул Грина и переходе к кратным интегралам, в теории вероятностей — при работе с совместными плотностями распределения двух случайных величин.

¶История

Понятие кратного интеграла сформировалось в XVIII–XIX веках в работах Леонарда Эйлера, Жозефа Луи Лагранжа и Огюстена Луи Коши, уточнивших понятие предела интегральных сумм. Систематическое изложение кратных интегралов и правила замены переменных дал Карл Густав Якоб Якоби, чьим именем назван определитель преобразования. В российской математической школе теория кратных интегралов развивалась в курсах Остроградского, а формула, связывающая двойной интеграл по области с криволинейным интегралом по её границе, носит имя Остроградского — Грина.

¶Обобщения

Двойной интеграл — частный случай кратного интеграла размерности \(n\); при \(n = 3\) получается тройной интеграл. Существуют также криволинейные и поверхностные интегралы, интегралы Лебега и Римана — Стилтьеса, позволяющие интегрировать более широкие классы функций. Численное вычисление двойных интегралов выполняется методами ячеек, повторного применения квадратурных формул и методом Монте-Карло.

Источники: Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»; Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа»; Демидович Б. П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»; Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Основы математического анализа».