Карл Густав Якоб Якоби

Карл Густав Якоб Якоби (нем. Carl Gustav Jacob Jacobi; 10 декабря 1804, Потсдам — 18 февраля 1851, Берлин) — немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад в развитие математического анализа, алгебры, теории чисел и механики. Является одним из создателей теории эллиптических функций и теории определителей. Его имя носят многочисленные математические понятия и теоремы, включая матрицу Якоби, якобиан, тождество Якоби и многочлены Якоби.

Биография

Ранние годы и образование

Карл Густав Якоб Якоби родился 10 декабря 1804 года в Потсдаме (Пруссия) в еврейской семье банкира Симоне Якоби. Он был вторым сыном в семье, его старший брат Мориц Герман Якоби (1801–1874) стал известным физиком и инженером, изобретателем гальванопластики. Первоначальное образование Якоби получил дома, а затем в гимназии в Потсдаме. Уже в 12 лет он проявил выдающиеся способности к математике, начав изучать высшую математику по учебникам Леонарда Эйлера.

В 1821 году Якоби поступил в Берлинский университет, где изучал философию, филологию и математику. Однако вскоре он полностью сосредоточился на математике, слушая лекции известных профессоров, в том числе Августа Леопольда Крелле. В 1825 году Якоби получил докторскую степень за диссертацию «Disquisitiones analyticae de fractionibus simplicibus» («Аналитические исследования простых дробей»).

Академическая карьера

В 1826 году Якоби начал преподавать в Кёнигсбергском университете (Альбертина) в качестве приват-доцента. Уже в 1827 году он стал экстраординарным, а в 1832 году — ординарным профессором математики. В Кёнигсберге вокруг Якоби сложилась влиятельная математическая школа. Он читал лекции по самым разным разделам математики и механики, привлекая студентов своей ясностью изложения и глубиной идей. Одним из его учеников был, в частности, Фридрих Вильгельм Бессель.

В 1842 году Якоби по состоянию здоровья (диабет) был вынужден временно оставить преподавание. Он совершил поездку в Италию, где общался с ведущими итальянскими математиками. В 1844 году король Пруссии Фридрих Вильгельм IV предоставил Якоби пенсию, позволившую ему переехать в Берлин, где он продолжил научную работу в Берлинской академии наук (членом которой он был с 1836 года). В Берлине Якоби читал лекции в университете, но его здоровье продолжало ухудшаться.

Карл Густав Якоб Якоби скончался 18 февраля 1851 года в Берлине от оспы. Похоронен на кладбище Святой Троицы в Берлине.

Научный вклад

Эллиптические функции

Главным достижением Якоби считается создание (независимо от Нильса Хенрика Абеля) теории эллиптических функций — двоякопериодических функций комплексного переменного, являющихся обобщением тригонометрических функций. В 1827–1829 годах он опубликовал серию работ, завершившихся фундаментальным трактатом «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum» («Новые основы теории эллиптических функций»). Якоби ввёл стандартные обозначения для эллиптических функций (sn, cn, dn), которые используются до сих пор, и разработал методы их преобразования (тождества Якоби). Эта теория нашла применение в математической физике, теории чисел и геометрии.

Теория определителей и матрицы

Якоби внёс решающий вклад в развитие теории определителей. Он ввёл понятие функционального определителя (якобиана), который играет ключевую роль при замене переменных в кратных интегралах и в дифференциальной геометрии. Ему также принадлежит понятие матрицы Якоби — матрицы частных производных вектор-функции. Якоби систематизировал и обобщил результаты, полученные ранее Готфридом Вильгельмом Лейбницем, Габриэлем Крамером и Огюстеном Луи Коши.

Теория чисел

В теории чисел Якоби получил ряд глубоких результатов. Он доказал закон взаимности для кубических и биквадратичных вычетов, используя теорию эллиптических функций. Якоби ввёл символ Якоби — обобщение символа Лежандра для нечётных составных модулей. Он также исследовал представление чисел в виде суммы квадратов и другие аддитивные задачи.

Дифференциальные уравнения и аналитическая механика

Якоби разработал мощные методы интегрирования дифференциальных уравнений, в частности, метод Гамильтона — Якоби, который сводит решение уравнений движения в аналитической механике к решению уравнения в частных производных первого порядка. Этот метод стал одним из центральных в теоретической физике XIX–XX веков. Якоби также внёс вклад в теорию возмущений в небесной механике.

Другие области

• Алгебра: Якоби изучал теорию групп, ввёл понятие тождества Якоби для скобок Ли.
• Вариационное исчисление: Разработал условия второго порядка для экстремумов функционалов (условие Якоби).
• Геометрия: Исследовал геодезические линии на эллипсоидах.
• Численные методы: Разработал метод Якоби для нахождения собственных значений симметричных матриц.

Основные труды

• «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum» (1829)
• «Vorlesungen über Dynamik» (1842–1843, изданы посмертно в 1866)
• Gesammelte Werke (Собрание сочинений в 7 томах, издано Берлинской академией наук в 1881–1891 годах)

Память

Имя Якоби увековечено в названиях математических объектов, таких как якобиан, матрица Якоби, символ Якоби, многочлены Якоби, тождество Якоби, метод Якоби, эллиптические функции Якоби и других. В честь учёного назван кратер на Луне (Jacobi) и астероид (12040 Jacobi). В Потсдаме и Берлине установлены мемориальные доски.

Источники

• Carl Gustav Jacob Jacobi. Gesammelte Werke. Bände 1–7. Berlin, 1881–1891.
• Koenigsberger, L. Carl Gustav Jacob Jacobi. Leipzig, 1904.
• Белл, Э. Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.
• Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: Наука, 1989.