Двухшаговая процедура Энгла — Грейнджера

Двухшаговая процедура Энгла — Грейнджера — это эконометрический метод проверки наличия коинтеграции между двумя или более нестационарными временными рядами. Процедура была предложена Робертом Энглом и Клайвом Грейнджером в 1987 году и стала одним из фундаментальных инструментов анализа временных рядов в макроэкономике и финансах. Метод позволяет установить долгосрочную равновесную связь между переменными, которые сами по себе являются нестационарными, но их линейная комбинация оказывается стационарной.

История и предпосылки

До появления концепции коинтеграции в эконометрике преобладал подход, при котором нестационарные ряды (например, ВВП, уровень цен, денежная масса) приводились к стационарности путём взятия разностей. Это приводило к потере информации о долгосрочных взаимосвязях. В 1980-х годах Клайв Грейнджер и Роберт Энгл разработали теорию коинтеграции, за что в 2003 году были удостоены Нобелевской премии по экономике. Двухшаговая процедура стала практическим алгоритмом для реализации этой теории.

Суть метода

Процедура состоит из двух последовательных этапов (шагов).

Первый шаг: оценка долгосрочного соотношения

На первом этапе оценивается регрессионное уравнение, связывающее две (или более) нестационарные переменные. Обычно используется метод наименьших квадратов (МНК). Уравнение имеет вид:

\[ y_t = \alpha + \beta x_t + \varepsilon_t \]

где \(y_t\) и \(x_t\) — нестационарные временные ряды (например, интегрированные первого порядка, I(1)), \(\alpha\) — константа, \(\beta\) — коэффициент долгосрочной связи, \(\varepsilon_t\) — остатки регрессии.

Если ряды действительно коинтегрированы, то остатки \(\varepsilon_t\) должны быть стационарными, то есть не содержать единичного корня. На этом этапе важно убедиться, что оба ряда имеют одинаковый порядок интегрированности (обычно I(1)).

Второй шаг: проверка стационарности остатков

На втором этапе полученные остатки \(\hat{\varepsilon}_t\) проверяются на стационарность с помощью теста на единичный корень, чаще всего — расширенного теста Дики — Фуллера (ADF-тест). Критическое значение для теста корректируется, поскольку остатки являются оценёнными, а не наблюдаемыми непосредственно. Для этого существуют специальные таблицы критических значений (таблицы Энгла — Грейнджера, Маккиннона).

Если гипотеза о наличии единичного корня в остатках отвергается, то делается вывод о коинтеграции рядов. В противном случае коинтеграция отсутствует, и моделирование в уровнях некорректно.

Условия применения

Процедура применима при следующих условиях:

• Оба временных ряда являются нестационарными и интегрированными одного порядка (обычно I(1)).
• Ряды имеют достаточную длину (не менее 30–50 наблюдений) для надёжной оценки.
• Отсутствует структурный разрыв в коинтеграционном соотношении в течение периода выборки.
• Модель не содержит более двух переменных (для трёх и более рядов процедура становится менее эффективной, и предпочтительнее использовать метод Йохансена).

Пример

Рассмотрим гипотетический пример: проверка коинтеграции между потребительскими расходами (\(C_t\)) и располагаемым доходом (\(Y_t\)) в России за 2000–2020 годы. Оба ряда нестационарны (I(1)). На первом шаге оценивается регрессия:

\[ C_t = \alpha + \beta Y_t + \varepsilon_t \]

Получены оценки: \(\alpha = 0.5\), \(\beta = 0.8\). На втором шаге остатки \(\hat{\varepsilon}_t\) проверяются ADF-тестом. Если статистика ADF меньше критического значения (например, -3.45 при 5% уровне значимости), то гипотеза о единичном корне отвергается, и делается вывод о коинтеграции. Это означает, что в долгосрочной перспективе потребление и доход движутся вместе, хотя краткосрочные отклонения возможны.

Ограничения и критика

• Чувствительность к выбору зависимой переменной. Результаты могут различаться в зависимости от того, какая переменная выбрана в качестве зависимой. На практике рекомендуется проверять обе спецификации.
• Неэффективность для систем с более чем двумя переменными. При трёх и более рядах двухшаговая процедура даёт смещённые оценки и теряет мощность. В таких случаях предпочтительнее метод Йохансена (основанный на VAR-моделях).
• Зависимость от длины выборки. При малом количестве наблюдений теряется надёжность тестов.
• Не учитывает возможные структурные сдвиги. Если коинтеграционное соотношение меняется во времени (например, из-за изменения экономической политики), процедура может дать ложные результаты.
• Смещение в малых выборках. Оценки МНК на первом шаге могут быть смещёнными, хотя и состоятельными.

Модификации и развитие

Для преодоления некоторых ограничений были разработаны модификации:

• Метод Йохансена (1991) — позволяет тестировать коинтеграцию в многомерных системах и оценивать несколько коинтеграционных векторов.
• Процедура Филлипса — Улиариса (1990) — учитывает возможную эндогенность регрессоров.
• Тест Парка (1992) — использует канонические корреляции.
• Метод ARDL (авторегрессионное распределённое лагирование) — работает при смешанных порядках интегрированности (I(0) и I(1)).

Применение

Двухшаговая процедура Энгла — Грейнджера широко применяется в:

• Макроэкономике — для анализа взаимосвязи между потреблением и доходом, инвестициями и сбережениями, инфляцией и денежной массой.
• Финансах — для проверки паритета покупательной способности, паритета процентных ставок, долгосрочной связи между ценами акций и дивидендами.
• Энергетике — для изучения связи между ценами на нефть и макроэкономическими показателями.
• Международной экономике — для анализа долгосрочного равновесия обменных курсов.

Источники

• Engle, R. F., & Granger, C. W. J. (1987). Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Econometrica, 55(2), 251–276.
• Грин, У. Х. (2016). Эконометрический анализ. 7-е изд. — М.: Дело.
• Магнус, Я. Р., Катышев, П. К., Пересецкий, А. А. (2007). Эконометрика. Начальный курс. 8-е изд. — М.: Дело.
• Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press.
• Banerjee, A., Dolado, J. J., Galbraith, J. W., & Hendry, D. F. (1993). Co-Integration, Error Correction, and the Econometric Analysis of Non-Stationary Data. Oxford University Press.