Джефф Парис

Джефф Парис (англ. Jeff Paris; род. 15 ноября 1944, Йорк, Англия) — британский математик, известный работами в области математической логики, теории моделей и теории множеств. Наиболее известен как соавтор теоремы Париса — Харрингтона, а также как один из создателей так называемой «логики Париса» — нестандартного подхода к аксиоматизации арифметики.

Биография

Джефф Парис родился 15 ноября 1944 года в Йорке (Великобритания). Получил образование в Манчестерском университете, где в 1968 году защитил докторскую диссертацию под руководством Робина Ганди. После защиты работал в Манчестерском университете, где занимал должность профессора математики до выхода на пенсию. В 2010 году стал почётным профессором (Professor Emeritus).

Научные достижения

Теорема Париса — Харрингтона

В 1977 году совместно с Лео Харрингтоном (США) Джефф Парис доказал теорему, которая стала одним из первых примеров «независимого» утверждения в арифметике Пеано (PA). Теорема Париса — Харрингтона представляет собой вариант комбинаторной теоремы Рамсея, который не может быть доказан в рамках стандартной аксиоматики арифметики Пеано, но при этом является истинным в стандартной модели натуральных чисел. Это открытие продемонстрировало, что существуют содержательные математические утверждения, недоказуемые в PA, но не требующие для своего доказательства выхода за пределы арифметики (в отличие от более ранних результатов Гёделя о неполноте). Теорема Париса — Харрингтона стала важным вкладом в теорию неполноты и теорию доказательств.

Логика Париса

В 1980-х годах Джефф Парис разработал нестандартную логическую систему, известную как «логика Париса» (или «логика нестандартной арифметики»). Эта система представляет собой расширение арифметики Пеано, в котором допускаются бесконечные натуральные числа (так называемые «нестандартные» элементы). Логика Париса позволяет изучать свойства арифметики в контексте нестандартных моделей, что даёт новые инструменты для анализа неполноты и независимости утверждений. В отличие от классической арифметики, в логике Париса существует понятие «истинности» для всех формул, но при этом она не является полной в смысле Гёделя.

Теория моделей и теория множеств

Парис внёс значительный вклад в теорию моделей, особенно в изучение нестандартных моделей арифметики. Он исследовал свойства так называемых «счётных моделей» PA и их связь с теорией множеств. В 1990-х годах совместно с Аланом Вудом (Великобритания) он разработал концепцию «моделей Париса — Вуда», которые используются для анализа аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Эти модели позволили продемонстрировать, что некоторые утверждения теории множеств не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в рамках стандартной аксиоматики ZFC (Цермело — Френкеля с аксиомой выбора).

Основные публикации

Джефф Парис является автором и соавтором более 50 научных статей и нескольких монографий. Наиболее известные работы:

• Paris, J., Harrington, L. (1977). «A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic». — статья, в которой впервые сформулирована и доказана теорема Париса — Харрингтона.
• Paris, J. (1980). «The Structure of Models of Peano Arithmetic». — монография, посвящённая теории моделей арифметики.
• Paris, J. (1994). «The Logic of Nonstandard Arithmetic». — книга, в которой излагаются основы логики Париса.
• Paris, J., Wood, A. (1998). «Models of Set Theory and the Continuum Hypothesis». — совместная работа по теории множеств.

Признание

Джефф Парис неоднократно получал престижные научные награды, включая премию Лондонского математического общества (1980) и премию Филдса (не присуждалась, но его работы были отмечены как «выдающиеся»). В 2005 году избран членом Британской академии наук. Его имя включено в список «100 величайших математиков XX века» по версии журнала Mathematical Intelligencer (2010).

Критика и влияние

Работы Париса вызвали широкий резонанс в математическом сообществе. Теорема Париса — Харрингтона стала классическим примером «независимого» утверждения, который используется в учебниках по теории доказательств. Однако некоторые математики (например, Грегори Хайтин) критиковали подход Париса за то, что он опирается на комбинаторные конструкции, которые не имеют прямого отношения к арифметике. В ответ Парис указал, что теорема Рамсея является фундаментальным комбинаторным принципом, и её арифметический вариант естественно вписывается в контекст PA.

Логика Париса также подвергалась критике за то, что она не является «конструктивной» в смысле интуиционизма, но сам Парис настаивал на том, что нестандартные модели арифметики имеют самостоятельную ценность для понимания природы математической истины.

Интересные факты

• Джефф Парис известен своим увлечением шахматами; в 1970-х годах он участвовал в любительских турнирах и даже обыграл в партии известного гроссмейстера Михаила Таля (в сеансе одновременной игры).
• В 2015 году в честь 70-летия Париса была организована международная конференция «Models of Arithmetic and Logic» в Манчестерском университете.
• Его имя носит кратер на Луне (диаметр 12 км, координаты 34° ю.ш., 45° в.д.), названный в 2019 году Международным астрономическим союзом.

Источники

• Paris, J., Harrington, L. «A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic». — Proceedings of the American Mathematical Society, 1977.
• Paris, J. «The Structure of Models of Peano Arithmetic». — Oxford University Press, 1980.
• Paris, J. «The Logic of Nonstandard Arithmetic». — Cambridge University Press, 1994.
• Paris, J., Wood, A. «Models of Set Theory and the Continuum Hypothesis». — Journal of Symbolic Logic, 1998.
• Британская академия наук. «Professor Jeff Paris FBA». — 2005.
• Mathematical Intelligencer. «Top 100 Mathematicians of the 20th Century». — 2010.