Эллипсоид вращения

Эллипсоид вращения — это поверхность, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей. В трёхмерном пространстве эллипсоид вращения является частным случаем общего эллипсоида, у которого два из трёх полуосей равны между собой. В зависимости от того, вокруг какой оси — большой или малой — происходит вращение, различают вытянутый (пролатный) и сплюснутый (облятный) эллипсоиды вращения. Эта фигура широко применяется в геодезии, астрономии, физике и технике для аппроксимации формы небесных тел, а также в качестве модели для различных инженерных расчётов.

Определение и геометрические свойства

Эллипсоид вращения задаётся уравнением в декартовых координатах (x, y, z) с центром в начале координат:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

где \(a\) — экваториальный радиус (полуось, равная по двум осям x и y), а \(c\) — полярный радиус (полуось вдоль оси z). Если \(a > c\), эллипсоид является сплюснутым (облятным), если \(a < c\) — вытянутым (пролатным). При \(a = c\) фигура превращается в сферу.

Ключевые геометрические характеристики:

• Эксцентриситет — мера отклонения от сферы. Для эллипсоида вращения определяется как \(\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}\) (для сплюснутого) или \(\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{a^2}{c^2}}\) (для вытянутого).
• Площадь поверхности — вычисляется по специальным формулам через эллиптические интегралы или приближённые выражения. Для сплюснутого эллипсоида площадь \(S = 2\pi a^2 \left(1 + \frac{c^2}{a^2 \varepsilon} \cdot \arcsin \varepsilon \right)\); для вытянутого — \(S = 2\pi a^2 \left(1 + \frac{c}{a\varepsilon} \cdot \operatorname{arsinh} \varepsilon \right)\).
• Объём — для любого эллипсоида вращения объём вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi a^2 c\).

Классификация

Эллипсоиды вращения делятся на два основных типа в зависимости от направления оси вращения:

Сплюснутый эллипсоид (облятный)

Образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси. В этом случае экваториальный радиус больше полярного (\(a > c\)). Форма напоминает приплюснутый шар. Примеры: Земля (геоид аппроксимируется сплюснутым эллипсоидом), планеты-гиганты (Юпитер, Сатурн), а также некоторые галактики.

Вытянутый эллипсоид (пролатный)

Образуется при вращении эллипса вокруг его большой оси. Полярный радиус больше экваториального (\(a < c\)). Форма напоминает сигару или дыню. Примеры: некоторые астероиды, яйца птиц, а также модели в физике ускорителей (например, форма пучка частиц).

Применение

Геодезия и картография

Эллипсоид вращения является основной моделью для описания формы Земли. Наиболее известные референц-эллипсоиды:

• Эллипсоид Красовского (1940 год) — использовался в СССР и России для геодезических работ. Параметры: \(a = 6\,378\,245\) м, \(c = 6\,356\,863\) м, сжатие \(1/298.3\).
• WGS-84 (World Geodetic System 1984) — глобальный эллипсоид, применяемый в GPS-навигации. Параметры: \(a = 6\,378\,137\) м, \(c = 6\,356\,752.3142\) м, сжатие \(1/298.257223563\).
• GRS-80 (Geodetic Reference System 1980) — используется в международных геодезических сетях.

Эллипсоид вращения служит математической поверхностью, относительно которой рассчитываются координаты, высоты и картографические проекции.

Астрономия

Форма многих небесных тел, особенно быстро вращающихся, близка к сплюснутому эллипсоиду. Например, Сатурн имеет сжатие около 1/10, что видно даже в любительский телескоп. Для Земли сжатие составляет примерно 1/298, что приводит к разнице между экваториальным и полярным радиусами около 21 км. В астрофизике эллипсоидальные модели используются для описания формы галактик, звёздных скоплений и протопланетных дисков.

Физика и техника

В механике эллипсоид вращения применяется как модель для расчёта моментов инерции, гироскопических эффектов и движения тел в жидкости. В оптике и акустике — для описания фокальных свойств отражающих поверхностей (например, эллипсоидные зеркала в прожекторах). В машиностроении — для проектирования резервуаров, куполов и оболочек, работающих под давлением.

Математика

Эллипсоид вращения является поверхностью второго порядка. Его свойства изучаются в аналитической геометрии и дифференциальной геометрии. В частности, геодезические линии на эллипсоиде вращения описываются с помощью эллиптических функций, что имеет значение для навигации и теории поверхностей.

Интересные факты

• Эллипсоид вращения, близкий к сфере, часто называют сфероидом. Термин «сфероид» используется в геодезии и астрономии как синоним эллипсоида вращения.
• Форма Земли не является идеальным эллипсоидом — реальная поверхность (геоид) имеет отклонения до 100 метров из-за неравномерного распределения массы внутри планеты.
• В 2015 году зонд «Новые горизонты» (NASA) обнаружил, что Плутон имеет форму сплюснутого эллипсоида с необычно большим сжатием (около 1/12), что связано с его быстрым вращением в прошлом.
• В русской научной литературе термин «эллипсоид вращения» часто заменяется на «эллипсоид Красовского» применительно к геодезическим моделям, хотя это лишь частный случай.

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986.
• Урмаев М. С. Геодезическая астрономия и геодезическая гравиметрия. — М.: Недра, 1981.
• Морозов В. П. Курс сферической астрономии. — М.: Наука, 1979.
• Документация по системе WGS-84 (National Geospatial-Intelligence Agency, 2014).
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 1: Механика. — М.: Физматлит, 2004.