Эварист Галуа

Эварист Галуа (фр. Évariste Galois; 25 октября 1811, Бур-ла-Рен, Франция — 31 мая 1832, Париж, Франция) — французский математик, основатель современной высшей алгебры. Создатель теории групп и теории полей, заложивший основы теории Галуа, которая устанавливает связь между теорией групп и теорией полей и позволяет решать вопросы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Его работы, опубликованные посмертно, оказали фундаментальное влияние на развитие алгебры, теории чисел и геометрии.

Биография

Ранние годы и образование

Эварист Галуа родился 25 октября 1811 года в Бур-ла-Рене, пригороде Парижа, в семье интеллектуалов. Его отец, Николя-Габриэль Галуа, был республиканцем и занимал пост мэра города. Мать, Аделаида-Мари Демант, происходила из семьи юристов и получила хорошее образование, что было редкостью для женщин того времени. Она сама обучала сына до 12 лет, уделяя особое внимание классическим языкам, литературе и математике.

В 1823 году Галуа поступил в престижный Королевский коллеж Людовика Великого (Lycée Louis-le-Grand). В первые годы обучения он проявил способности к гуманитарным наукам, но в 1826 году, после знакомства с работами Адриена Мари Лежандра и Жозефа Луи Лагранжа, увлёкся математикой. Галуа начал самостоятельно изучать «Начала геометрии» Лежандра и «Трактат о разрешении численных уравнений» Лагранжа, что привело его к глубокому интересу к теории алгебраических уравнений.

Первые математические открытия

В 1828 году, в возрасте 16 лет, Галуа сделал свои первые значительные открытия в области решения уравнений высших степеней. Он представил свою первую работу в Парижскую академию наук, но она была утеряна. В 1829 году он опубликовал мемуар «О разрешении алгебраических уравнений» в «Бюллетене Ферюссака», где изложил основы своей теории. Однако его работа не была оценена современниками из-за её сложности и новаторства.

Конфликт с академическим сообществом

Галуа дважды пытался поступить в Политехническую школу (École Polytechnique), но оба раза провалил вступительные экзамены из-за нестандартного подхода к решению задач, который не соответствовал требованиям экзаменаторов. В 1829 году он поступил в Высшую нормальную школу (École Normale Supérieure), где продолжил свои исследования. Однако его республиканские взгляды и участие в политической деятельности привели к конфликту с администрацией школы.

В 1830 году, после Июльской революции, Галуа активно участвовал в политических протестах. Он был исключён из Высшей нормальной школы за публикацию статьи, критикующей директора, и вступил в Республиканское общество (Société des Amis du Peuple). В 1831 году он был арестован за участие в уличных беспорядках и приговорён к девяти месяцам тюремного заключения, которое отбывал в тюрьме Сент-Пелажи.

Дуэль и гибель

31 мая 1832 года Галуа был смертельно ранен на дуэли при невыясненных обстоятельствах. Считается, что дуэль была спровоцирована политическими или личными мотивами, возможно, связанными с женщиной. Накануне дуэли он написал знаменитое письмо своему другу Огюсту Шевалье, в котором изложил основные результаты своих исследований, включая теорию Галуа. Он умер в возрасте 20 лет.

Научные достижения

Теория Галуа

Основным вкладом Галуа в математику является создание теории, которая связывает разрешимость алгебраических уравнений в радикалах с свойствами групп перестановок их корней. Эта теория, ныне известная как теория Галуа, позволяет определить, можно ли решить уравнение с помощью арифметических операций и извлечения корней, исходя из структуры его группы Галуа.

Галуа ввёл понятие группы как множества преобразований, замкнутого относительно операции композиции. Он показал, что каждому алгебраическому уравнению можно сопоставить группу перестановок его корней, и что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости этой группы. Группа, для которой это возможно, называется разрешимой группой.

Теория полей

Галуа также заложил основы теории полей, введя понятие поля разложения многочлена и поля Галуа (конечного поля). Он показал, что корни многочлена могут быть выражены через радикалы тогда и только тогда, когда его группа Галуа является разрешимой. Это позволило доказать, что общее уравнение пятой степени (и выше) неразрешимо в радикалах, что было окончательно установлено Нильсом Хенриком Абелем и Галуа.

Вклад в теорию групп

Галуа ввёл понятие нормальной подгруппы и факторгруппы, которые стали основой для классификации конечных групп. Он также исследовал группы перестановок и показал, что группа Галуа уравнения является подгруппой симметрической группы. Его работы предвосхитили многие идеи современной теории групп, такие как теорема Силова и теорема Жордана-Гёльдера.

Признание и наследие

Посмертная публикация

Работы Галуа были опубликованы посмертно в 1846 году в «Журнале чистой и прикладной математики» (Journal de Mathématiques Pures et Appliquées) благодаря усилиям его друга Огюста Шевалье и математика Жозефа Лиувилля, который первым осознал их значение. Лиувилль назвал их «гениальными» и «революционными».

Влияние на математику

Теория Галуа стала фундаментом для многих разделов математики, включая алгебраическую геометрию, теорию чисел и теорию кодирования. Понятия группы, поля и кольца, введённые или развитые Галуа, являются основными в современной алгебре. Его идеи также нашли применение в криптографии, в частности, в алгоритмах шифрования, основанных на конечных полях.

Память

В честь Галуа названы:

• Теория Галуа — раздел алгебры.
• Поле Галуа — конечное поле.
• Группа Галуа — группа автоморфизмов поля.
• Уравнение Галуа — уравнение, связанное с теорией Галуа.
• Кратер Галуа на Луне.
• Улица Галуа в Париже.

Критика и споры

Непризнание современниками

При жизни Галуа не получил признания за свои работы. Его мемуары были отвергнуты или утеряны Академией наук, а его идеи считались слишком сложными и нестандартными. Некоторые историки науки полагают, что это было связано не только с математической сложностью, но и с его республиканскими взглядами и конфликтом с академическим истеблишментом.

Легенда о дуэли

Обстоятельства дуэли Галуа до сих пор остаются предметом споров. Некоторые исследователи утверждают, что дуэль была спровоцирована политическими врагами, другие — что она была связана с любовным треугольником. Существует также версия, что Галуа был убит агентом полиции, что, однако, не подтверждено документально.

Интересные факты

• Галуа написал свою знаменитую работу «О разрешении алгебраических уравнений» в возрасте 17 лет.
• Накануне дуэли он провёл ночь, записывая свои математические идеи, чтобы они не были утеряны.
• Его последние слова, по легенде, были обращены к брату: «Не плачь, мне нужно всё моё мужество, чтобы умереть в двадцать лет».
• Теория Галуа была впервые полностью понята и развита только в конце XIX века, через 50 лет после его смерти.

Источники

• Лиувилль, Ж. «Мемуары Эвариста Галуа» (1846).
• Артин, Э. «Теория Галуа» (1942).
• Ван дер Варден, Б. Л. «Алгебра» (1931).
• Эдвардс, Г. «Теория Галуа» (1984).
• Ротман, Дж. «Теория групп» (1995).