ФБВ — отношение в теории игр¶

ФБВ (фактор блокировки, от англ. blocking factor) — отношение в теории игр и принятия решений, характеризующее степень, в которой одно событие или действие препятствует наступлению другого события. Понятие используется при анализе конфликтных и кооперативных сценариев, а также при оценке надёжности систем, где отказ одного элемента блокирует функционирование другого.

¶Определение и сущность

ФБВ формально выражается как отношение вероятности (или интенсивности) блокирующего события к вероятности (интенсивности) блокируемого события. Если обозначить через $P_B$ вероятность того, что элемент B блокирует элемент A, а через $P_A$ — вероятность проявления элемента A, то фактор блокировки определяется как:

$$ФБВ = \frac{P_B}{P_A}$$

Значение ФБВ > 1 указывает на то, что блокирующее воздействие преобладает, и событие A вряд ли наступит. Значение ФБВ < 1 свидетельствует о слабом блокирующем влиянии.

¶Применение в теории игр

В теории игр ФБВ применяется при анализе блокирующих коалиций — групп игроков, которые, объединившись, могут предотвратить принятие определённого решения или распределение выгод. Отношение ФБВ позволяет количественно оценить, насколько велика вероятность формирования такой коалиции относительно вероятности успешного исхода для отдельного игрока.

В кооперативных играх блокирующая коалиция S считается эффективной, если сумма выигрышей её членов при отказе от участия в основной коалиции превышает их выигрыш от распределения v(N), где N — множество всех игроков. ФБВ в этом контексте отражает соотношение сил между блокирующей коалицией и устойчивым распределением.

¶Применение в анализе надёжности

В теории надёжности ФБВ используется для оценки систем с последовательной и параллельной структурой. Для последовательной системы, где отказ любого элемента приводит к отказу всей системы, ФБВ между элементами отражает соотношение их интенсивностей отказов:

$$ФБВ_{i,j} = \frac{\lambda_i}{\lambda_j}$$

где $\lambda_i$ и $\lambda_j$ — интенсивности отказов соответствующих элементов.

Для параллельной структуры ФБВ характеризует, насколько отказ одного резервного канала компенсирует отказ основного. Значение ФБВ > 1 означает, что резервный канал менее надёжен, чем основной, и его включение не обеспечивает требуемый уровень надёжности.

¶Классификация

По характеру воздействия ФБВ подразделяется на:

• Абсолютный — блокирующее событие полностью исключает наступление блокируемого (ФБВ → ∞).
• Относительный — блокирующее событие лишь снижает вероятность наступления блокируемого (конечное значение ФБВ).
• Условный — блокирующее воздействие проявляется только при выполнении дополнительных условий.

¶Математический аппарат

Для цепей Маркова, описывающих процессы с блокировкой, ФБВ определяется через матрицу интенсивностей переходов. Если $q_{ij}$ — интенсивность перехода из состояния i в состояние j, то ФБВ между состояниями i и k через промежуточное состояние j вычисляется как отношение произведения интенсивностей $q_{ij} \cdot q_{jk}$ к интенсивности прямого перехода $q_{ik}$.

При анализе систем массового обслуживания ФБВ используется для оценки влияния приоритетных заявок на невиполняемые заявки низшего приоритета. Отношение интенсивности потока высокоприоритетных заявок к интенсивности потока низкоприоритетных определяет среднее время ожидания в очереди.

¶Ограничения

ФБВ как мера блокирующего воздействия имеет ряд ограничений:

• Предполагает стационарность процессов, что не всегда выполняется на практике.
• Не учитывает нелинейные эффекты при одновременном воздействии нескольких блокирующих факторов.
• Требует корректной оценки вероятностей или интенсивностей, что может быть затруднено при недостатке данных.

¶Примечания

Понятие ФБВ тесно связано с показателями надёжности, такими как коэффициент готовности и интенсивность отказов, а также с понятием блокирующей коалиции в кооперативной теории игр.

¶Источники

• Основы теории надёжности / под ред. Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляева, А. Д. Соловьёва.
• Теория игр / Л. Н. Ведерников, В. В. Кулаков.
• Математические методы анализа надёжности / В. С. Михалевич.
• Теория массового обслуживания / В. П. Бутенко.