Филипп Холл

Филипп Холл (англ. Philip Hall; 11 апреля 1904, Лондон — 30 декабря 1982, Кембридж) — британский математик, один из крупнейших алгебраистов XX века. Основные труды посвящены теории групп, в особенности теории конечных групп и теории бесконечных групп. Внёс фундаментальный вклад в развитие теории p-групп, теории разрешимых групп, теории групповых расширений и комбинаторной теории групп. Его работы оказали глубокое влияние на современную алгебру, а введённые им понятия (например, холловы подгруппы, холловы многообразия) стали общеупотребительными.

Биография

Филипп Холл родился 11 апреля 1904 года в Лондоне в семье Джорджа Холла, служащего страховой компании, и Мэри Холл (урождённой Эллис). В 1915 году он поступил в престижную лондонскую школу Святого Павла (St Paul’s School), где проявил выдающиеся способности к математике. В 1922 году Холл выиграл стипендию для обучения в Королевском колледже Кембриджского университета.

В 1925 году он окончил Кембридж с отличием первой степени (First Class Honours) по математике. После окончания университета Холл остался в Кембридже для научной работы. В 1927 году он был избран членом (fellow) Королевского колледжа. В 1933 году Холл защитил докторскую диссертацию (PhD) под руководством Карла Пирсона, однако тема диссертации была связана с математической статистикой, а не с теорией групп, которой он впоследствии посвятил свою карьеру.

С 1933 по 1938 год Холл работал ассистентом лектора (assistant lecturer) в Кембридже. В 1938 году он был назначен лектором (lecturer) в колледже Святого Иоанна. Во время Второй мировой войны Холл служил в Министерстве авиационной промышленности Великобритании, занимаясь вопросами баллистики и статистического контроля качества. После войны он вернулся в Кембридж, где в 1949 году получил звание профессора (reader) по теории групп. В 1953 году Холл был избран членом Лондонского королевского общества (FRS). С 1953 по 1967 год он занимал должность профессора чистой математики (Sadleirian Professor of Pure Mathematics) в Кембриджском университете, сменив на этом посту Годфри Харди.

Филипп Холл вышел на пенсию в 1967 году, но продолжал активно заниматься наукой. Он скончался 30 декабря 1982 года в Кембридже в возрасте 78 лет.

Научный вклад

Теория конечных групп

Основные достижения Холла в теории конечных групп связаны с изучением p-групп и разрешимых групп. В 1928 году он опубликовал работу, в которой доказал теорему о существовании подгрупп определённых порядков в конечных разрешимых группах. Эти подгруппы впоследствии получили название холловых подгрупп. Холл показал, что в конечной разрешимой группе для любого множества простых чисел π существует подгруппа, порядок которой делится только на простые числа из π, а индекс — только на простые числа, не входящие в π. Кроме того, все такие π-подгруппы сопряжены. Эта теорема является обобщением теорем Силова для случая нескольких простых чисел.

Холл также внёс значительный вклад в теорию конечных p-групп. Он ввёл понятие холловского многообразия (многообразия, порождённого конечной p-группой) и исследовал структуру таких групп. В 1934 году он опубликовал фундаментальную работу «A contribution to the theory of groups of prime-power order», в которой заложил основы современной теории p-групп. В этой работе он, в частности, доказал теорему о том, что число подгрупп данного порядка в конечной p-группе сравнимо с 1 по модулю p.

Теория бесконечных групп

Холл был одним из пионеров систематического изучения бесконечных групп. В 1950-х годах он разработал теорию локально конечных групп — групп, в которых любое конечное подмножество порождает конечную подгруппу. Он ввёл понятие холловского класса — класса групп, замкнутого относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и прямых произведений, и доказал, что класс всех локально конечных групп является холловским классом.

В 1959 году Холл совместно с Б. Хартли опубликовал работу, в которой была заложена основа теории локально разрешимых групп. Он также внёс вклад в теорию групповых расширений, разработав когомологический подход к описанию расширений групп.

Комбинаторная теория групп

Холл внёс важный вклад в комбинаторную теорию групп, в частности в теорию свободных групп и групп с одним определяющим соотношением. В 1949 году он опубликовал работу «The word problem for groups with one defining relation», в которой доказал разрешимость проблемы тождества слов для таких групп. Этот результат стал одним из первых важных достижений в области алгоритмических проблем теории групп.

Алгебраическая комбинаторика

Холл также работал в области алгебраической комбинаторики. В 1935 году он опубликовал работу «On the number of partitions of a set», в которой ввёл понятие холловского типа (или холловского многочлена) для числа разбиений конечного множества на непустые подмножества. Этот результат связан с числами Стирлинга второго рода и имеет приложения в комбинаторике и теории вероятностей.

Основные понятия, названные в честь Филиппа Холла

• Холлова подгруппа — подгруппа конечной группы, порядок которой взаимно прост с её индексом. В разрешимых группах такие подгруппы существуют и сопряжены.
• Холловский класс — класс групп, замкнутый относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и прямых произведений.
• Холловское многообразие — многообразие групп, порождённое конечной p-группой.
• Холловский многочлен — многочлен, связанный с числом разбиений конечного множества.

Награды и признание

• 1953 — избран членом Лондонского королевского общества (FRS).
• 1961 — награждён медалью Сильвестра Лондонского королевского общества.
• 1965 — избран иностранным членом Американской академии искусств и наук.
• 1967 — награждён медалью де Моргана Лондонского математического общества.

Личные качества и педагогическая деятельность

Филипп Холл был известен как требовательный и вдумчивый научный руководитель. Среди его учеников — такие известные математики, как Брайан Хартли, Кеннет Грунберг, Джон Маклафлин и другие. Холл уделял большое внимание ясности и строгости изложения, его лекции и статьи отличались глубоким содержанием и тщательной проработкой деталей. Он также был известен своим интересом к истории математики и классическим работам по теории групп.

Литература

• Philip Hall. The Collected Works of Philip Hall. Oxford: Clarendon Press, 1988. — ISBN 978-0-19-853254-5.
• John G. Thompson. «Philip Hall (1904–1982)». Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 30 (1984), pp. 251–279.
• Peter M. Neumann. «Philip Hall: A biographical sketch». Bulletin of the London Mathematical Society, Vol. 16, No. 6 (1984), pp. 603–616.
• The Mathematical Legacy of Philip Hall. Edited by C. M. Campbell, E. F. Robertson, and G. C. Smith. Cambridge University Press, 1990. — ISBN 978-0-521-38920-0.