Формула Вильсона

Формула Вильсона (также известная как модель экономического размера заказа, EOQ-модель, от англ. Economic Order Quantity) — это математическая модель в логистике и управлении запасами, определяющая оптимальный размер партии заказа, при котором суммарные затраты на пополнение и хранение запасов достигают минимума. Формула была разработана американским инженером Фордом Уитменом Харрисом в 1913 году, однако широкое распространение и признание получила после публикаций Р. Г. Уилсона (R. H. Wilson) в 1930-х годах, чьё имя и закрепилось в названии.

История возникновения

В начале XX века, с развитием промышленного производства и усложнением цепочек поставок, перед предприятиями встала задача оптимизации складских запасов. Слишком частые заказы приводили к росту транспортных и административных расходов, а слишком редкие — к дефициту товаров или избыточным затратам на хранение.

В 1913 году Форд У. Харрис, работавший в компании Westinghouse, опубликовал статью «How Many Parts to Make at Once» в журнале Factory, The Magazine of Management. В ней он впервые математически вывел формулу для определения экономичного размера партии. Позднее, в 1934 году, Р. Г. Уилсон независимо переоткрыл и популяризировал эту модель, опубликовав её в контексте управления запасами. С тех пор формула стала базовым инструментом в учебных курсах по логистике и операционному менеджменту.

Математическая модель

Формула Вильсона основана на ряде допущений, которые упрощают реальную ситуацию, но позволяют получить аналитическое решение.

Основные допущения модели

1. Постоянный спрос: скорость потребления запаса известна и неизменна во времени.
2. Мгновенное пополнение: заказ поступает на склад целиком в один момент времени (без задержек и частями).
3. Независимость заказов: каждый заказ рассматривается изолированно, без учёта скидок на объём или ограничений по складским площадям.
4. Известные и постоянные затраты:

• Затраты на размещение заказа (S): постоянные издержки на оформление, доставку и приёмку одной партии (не зависят от размера партии).
• Затраты на хранение (H): издержки на содержание единицы товара на складе в течение года (включают аренду, страхование, потери от порчи, альтернативные издержки замороженного капитала).

1. Отсутствие дефицита: допускается, что дефицит запасов недопустим или не рассматривается.

Формула

Оптимальный размер заказа (Q*) вычисляется по формуле:

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2DS}{H}} \]

Где:

• Q* — оптимальный размер партии (в единицах товара);
• D — годовой спрос на товар (в единицах);
• S — стоимость размещения одного заказа (в денежных единицах);
• H — стоимость хранения одной единицы товара в год (в денежных единицах).

Вывод формулы

Формула выводится из минимизации функции общих годовых затрат (Total Cost, TC):

\[ TC(Q) = \frac{D}{Q} \cdot S + \frac{Q}{2} \cdot H \]

• \(\frac{D}{Q} \cdot S\) — годовые затраты на размещение заказов (количество заказов в год умножить на стоимость одного заказа).
• \(\frac{Q}{2} \cdot H\) — годовые затраты на хранение (средний уровень запаса, равный половине партии, умноженный на стоимость хранения единицы).

Взяв производную от TC(Q) по Q и приравняв её к нулю, получаем точку минимума, которая и даёт формулу Вильсона.

Характеристики и следствия

Точка безубыточности затрат

В точке оптимального заказа (Q*) затраты на размещение заказов равны затратам на хранение:

\[ \frac{D}{Q^} \cdot S = \frac{Q^}{2} \cdot H \]

Это свойство часто используется для проверки правильности расчётов.

Количество заказов в год (N)

\[ N = \frac{D}{Q^*} \]

Интервал между заказами (T)

\[ T = \frac{360}{N} \text{ (в днях)} \quad \text{или} \quad T = \frac{1}{N} \text{ (в годах)} \]

Точка перезаказа (ROP)

Для практического использования формулу дополняют расчётом точки возобновления заказа (Reorder Point, ROP), которая учитывает время выполнения заказа (L — lead time):

\[ ROP = d \cdot L \]

Где d — среднедневной спрос (\(d = D/360\)). Если спрос и время выполнения заказа постоянны, заказ размещается, когда уровень запаса достигает ROP.

Применение

Формула Вильсона широко применяется в различных отраслях:

• Производство: для определения оптимального размера партии закупаемого сырья или полуфабрикатов.
• Розничная торговля: для расчёта объёмов закупок товаров с устойчивым спросом (например, товары повседневного спроса).
• Складская логистика: для планирования загрузки складов и оптимизации транспортных расходов.
• Управление запасами в государственных учреждениях: например, при закупках медикаментов или канцтоваров.

Критика и ограничения

Несмотря на популярность, формула Вильсона имеет существенные ограничения, связанные с её допущениями:

1. Нестабильность спроса: в реальных условиях спрос редко бывает постоянным. Сезонные колебания, маркетинговые акции и изменения конъюнктуры рынка делают модель неточной.
2. Неучёт скидок: формула не учитывает оптовые скидки, которые могут сделать более выгодным заказ партии, отличной от Q*.
3. Неучёт дефицита: модель не рассматривает возможность и последствия дефицита (упущенная прибыль, штрафы, потеря клиентов).
4. Неучёт ограничений: формула игнорирует ограничения по складским площадям, бюджету на закупки, грузоподъёмности транспорта.
5. Статичность: модель предполагает, что все параметры (D, S, H) остаются неизменными в течение длительного периода, что редко соответствует действительности.

Модификации и развитие

Для преодоления ограничений классической формулы разработаны её модификации:

• EOQ со скидками: модель, в которой стоимость единицы товара (или стоимость хранения) зависит от размера партии.
• EPQ (Economic Production Quantity): модель для производственных процессов, где пополнение запаса происходит постепенно (партия производится, а не закупается мгновенно).
• Модель с дефицитом: допускается временный дефицит, который компенсируется при следующей поставке.
• Динамические модели (например, модель Вагнера-Уайтина): учитывают изменяющийся во времени спрос и позволяют находить оптимальный план заказов на несколько периодов.
• Стохастические модели: учитывают случайный характер спроса и времени выполнения заказа (например, модель с фиксированным уровнем запаса и точкой перезаказа, рассчитываемой с учётом страхового запаса).

Интересные факты

• Формула Вильсона является одной из первых и наиболее известных моделей в области исследования операций.
• Несмотря на свою простоту, она до сих пор используется как отправная точка для более сложных моделей управления запасами.
• В некоторых учебниках и программных продуктах формулу называют «формулой Харриса-Уилсона», отдавая должное обоим учёным.

Источники

• Харрис, Ф. У. (1913). «How Many Parts to Make at Once». Factory, The Magazine of Management.
• Уилсон, Р. Г. (1934). «A Scientific Routine for Stock Control». Harvard Business Review.
• Шрайбфедер, Дж. (2007). «Эффективное управление запасами».
• Стерлигова, А. Н. (2008). «Управление запасами в цепях поставок».
• Бowersox, D. J., Closs, D. J., & Cooper, M. B. (2012). «Supply Chain Logistics Management».