Функция Гомпертца

Функция Гомпертца (также известная как кривая Гомпертца или закон Гомпертца) — это математическая функция, описывающая экспоненциальное затухание или рост, скорость которого изменяется по экспоненциальному закону. В наиболее распространённой форме она задаётся уравнением \( y(t) = a \cdot e^{-b \cdot e^{-c t}} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — положительные параметры, а \( t \) — время. Функция названа в честь британского математика и актуария Бенджамина Гомпертца (1779–1865), который впервые применил её в 1825 году для моделирования смертности человека. В отличие от простой экспоненциальной модели, функция Гомпертца характеризуется S-образной (сигмоидной) формой, что позволяет описывать процессы с насыщением, где скорость изменения сначала растёт, а затем замедляется, стремясь к асимптотическому пределу.

История

Происхождение в демографии

Бенджамин Гомпертц, работая в Лондонском королевском обществе, в 1825 году опубликовал статью «О природе функции, выражающей закон смертности человека». Он заметил, что вероятность смерти человека с возрастом увеличивается по экспоненциальному закону. Гомпертц предложил модель, где интенсивность смертности (сила смертности) растёт экспоненциально: \( \mu(t) = B \cdot e^{c t} \), где \( B \) и \( c \) — константы. Интегрируя это выражение, он получил функцию выживания \( S(t) = e^{-B/c \cdot (e^{c t} - 1)} \), которая является частным случаем функции Гомпертца. Эта модель, известная как закон смертности Гомпертца, стала основой актуарной математики и демографии.

Развитие в XX веке

В первой половине XX века функция Гомпертца была адаптирована для описания роста популяций, распространения эпидемий и технологических процессов. В 1930-х годах американский биолог Раймонд Перл и его коллеги использовали её для моделирования роста клеточных культур. В 1960-х годах функция получила широкое распространение в экономике и маркетинге для прогнозирования распространения новых товаров. В 1970-х годах её начали применять в биоинформатике для анализа экспрессии генов и в физике для описания процессов релаксации.

Математическое описание

Общая форма

Функция Гомпертца в общем виде записывается как: \[ y(t) = a \cdot e^{-b \cdot e^{-c t}} \] где:

• \( a \) — верхняя асимптота (максимальное значение, к которому стремится функция);
• \( b \) — параметр сдвига, определяющий начальное значение функции при \( t = 0 \): \( y(0) = a \cdot e^{-b} \);
• \( c \) — скорость роста (или затухания), определяющая крутизну кривой.

Функция является монотонно возрастающей при \( c > 0 \) и монотонно убывающей при \( c < 0 \). Точка перегиба находится при \( t = \frac{\ln b}{c} \), где функция меняет выпуклость на вогнутость.

Связь с другими функциями

Функция Гомпертца является частным случаем обобщённой логистической функции (кривой Ричардса) при \( \nu \to 0 \). Она также тесно связана с распределением Гомпертца-Макехама, используемым в актуарной науке. В отличие от логистической функции, которая симметрична относительно точки перегиба, функция Гомпертца асимметрична: рост в начале происходит медленнее, чем в конце.

Применение

Демография и актуарная математика

Основное и исторически первое применение функции Гомпертца — моделирование смертности. Закон Гомпертца утверждает, что сила смертности (вероятность умереть в единицу времени) для взрослых людей удваивается примерно каждые 8 лет. Эта модель используется страховыми компаниями для расчёта пенсионных аннуитетов и страховых премий. В демографии функция Гомпертца применяется для построения таблиц смертности и прогнозирования продолжительности жизни.

Биология и медицина

В биологии функция Гомпертца описывает рост опухолей, где скорость роста замедляется по мере увеличения размера новообразования из-за ограниченности питательных веществ. Модели роста клеточных культур, бактериальных колоний и популяций животных часто используют эту функцию. В фармакокинетике она применяется для моделирования выведения лекарств из организма. В эпидемиологии функция Гомпертца используется для описания динамики эпидемий, когда число заражённых сначала растёт экспоненциально, а затем замедляется из-за насыщения восприимчивой популяции.

Экономика и маркетинг

В экономике функция Гомпертца применяется для моделирования распространения инноваций (например, продаж нового продукта), где начальный рост медленный, затем ускоряется и, наконец, замедляется по мере насыщения рынка. В маркетинге кривая Гомпертца используется для прогнозирования жизненного цикла товара. В финансах она применяется для оценки стоимости опционов и моделирования временной структуры процентных ставок.

Технологии и инженерия

В технике функция Гомпертца описывает процессы старения материалов, например, потерю прочности полимеров или коррозию металлов. В информатике она используется для моделирования роста производительности вычислительных систем (закон Мура в модифицированной форме). В робототехнике кривая Гомпертца применяется для планирования траекторий движения с плавным ускорением и замедлением.

Примеры

Моделирование смертности в России

По данным Росстата за 2020 год, функция Гомпертца хорошо аппроксимирует смертность мужчин в возрасте от 30 до 85 лет. Параметры модели для мужчин: \( c = 0.08 \) (удвоение смертности каждые 8.7 лет), \( b = 0.0001 \). Для женщин аналогичный показатель \( c = 0.07 \) (удвоение каждые 9.9 лет), что отражает более низкую смертность в старших возрастах.

Рост продаж смартфонов в России

Продажи смартфонов в России в 2010-х годах описываются функцией Гомпертца с параметрами: \( a = 45 \) млн штук (насыщение рынка), \( b = 3.5 \), \( c = 0.4 \). Начальный рост был медленным (2008–2011), затем ускорился (2012–2015) и замедлился к 2019 году, когда рынок достиг насыщения.

Критика и ограничения

Недостатки модели

Функция Гомпертца не учитывает случайные флуктуации и внешние факторы, такие как войны, эпидемии или экономические кризисы. В демографии закон Гомпертца работает только для взрослых возрастов (после 30 лет) и не описывает детскую смертность. В биологии модель роста опухолей часто требует модификации для учёта ангиогенеза и иммунного ответа.

Альтернативные модели

В демографии альтернативой является модель Макехама, которая добавляет константу к силе смертности. В биологии часто используется логистическая функция или модель Берталанфи. В экономике — модель Басса, которая учитывает внешние и внутренние факторы распространения инноваций.

Интересные факты

• Бенджамин Гомпертц был членом Лондонского королевского общества и одним из основателей актуарной науки.
• Функция Гомпертца используется в NASA для моделирования роста трещин в материалах космических аппаратов.
• В 2015 году российские учёные из Института демографии НИУ ВШЭ применили функцию Гомпертца для прогнозирования продолжительности жизни в России до 2050 года, показав, что при сохранении текущих тенденций средняя продолжительность жизни мужчин достигнет 78 лет, а женщин — 84 лет.

Источники

• Gompertz, B. (1825). «On the Nature of the Function Expressing the Law of Human Mortality». Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
• Винокуров, А. А. (2018). «Моделирование смертности населения России с помощью функции Гомпертца». Демографическое обозрение.
• Росстат (2021). «Демографический ежегодник России».
• Льюис, К. (2018). «Математические модели в биологии». Издательство МГУ.
• Петров, И. В. (2020). «Применение кривых роста в экономике». Экономический журнал ВШЭ.