Функция с постоянной эластичностью замещения

Функция с постоянной эластичностью замещения (англ. Constant Elasticity of Substitution function, CES-функция) — это класс производственных функций и функций полезности, в которых эластичность замещения между факторами производства (или товарами в потреблении) является постоянной величиной, не зависящей от уровня выпуска или объёмов используемых ресурсов. Впервые предложена американскими экономистами Кеннетом Эрроу, Холлисом Ченери, Бхагавати Минхасом и Робертом Солоу в 1961 году в работе «Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency». CES-функция обобщает более простые функциональные формы, такие как функция Кобба — Дугласа (эластичность замещения равна 1) и функция Леонтьева (эластичность замещения равна 0), и широко применяется в макроэкономике, теории международной торговли, эконометрике и анализе потребительского выбора.

Определение и общий вид

В общем виде двухфакторная CES-функция записывается как:

\[ Q = A \left[ \alpha K^{-\rho} + (1-\alpha) L^{-\rho} \right]^{-\frac{\nu}{\rho}} \]

где:

• \( Q \) — объём выпуска (или уровень полезности);
• \( A \) — параметр эффективности (нейтральный технический прогресс);
• \( K \) и \( L \) — объёмы факторов производства (например, капитал и труд);
• \( \alpha \) — параметр распределения (доля фактора в производстве, \( 0 < \alpha < 1 \));
• \( \rho \) — параметр замещения, связанный с эластичностью замещения \( \sigma \) соотношением \( \sigma = \frac{1}{1+\rho} \);
• \( \nu \) — параметр отдачи от масштаба (если \( \nu = 1 \), функция имеет постоянную отдачу от масштаба).

Параметр \( \rho \) может принимать значения от \(-1\) до \( +\infty \), исключая 0 (при \( \rho = 0 \) функция вырождается в функцию Кобба — Дугласа). При \( \rho \to +\infty \) CES-функция стремится к функции Леонтьева с фиксированными пропорциями, а при \( \rho \to -1 \) — к линейной функции с совершенной замещаемостью факторов.

Эластичность замещения

Эластичность замещения (σ) — это мера того, насколько легко один фактор производства может быть заменён другим при сохранении уровня выпуска. Формально она определяется как процентное изменение соотношения факторов, делённое на процентное изменение предельной нормы технического замещения (MRTS). Для CES-функции σ является константой, что и отражено в названии.

Значения σ определяют поведение функции:

• σ = 0 — факторы являются совершенными комплементами (функция Леонтьева); замена невозможна.
• σ = 1 — функция Кобба — Дугласа; доля каждого фактора в доходе постоянна.
• σ → ∞ — факторы являются совершенными субститутами; любое изменение цен приводит к полной замене одного фактора другим.
• 0 < σ < 1 — факторы слабо замещаемы; рост относительной цены одного фактора приводит к менее чем пропорциональному изменению в его использовании.
• σ > 1 — факторы легко замещаемы; рост цены одного фактора вызывает более чем пропорциональное снижение его доли.

История и происхождение

Концепция эластичности замещения была введена Джоном Хиксом в 1932 году в книге «Теория заработной платы». Однако до 1960-х годов в экономической теории доминировала функция Кобба — Дугласа, предполагавшая эластичность замещения, равную единице. В 1961 году Кеннет Эрроу, Холлис Ченери, Бхагавати Минхас и Роберт Солоу опубликовали статью, в которой на основе эмпирических данных по отраслям промышленности США показали, что эластичность замещения между капиталом и трудом может существенно отличаться от 1. Для моделирования этого разнообразия они предложили CES-функцию, которая допускала любое постоянное значение σ.

Работа была выполнена в рамках исследований Стэнфордского университета и финансировалась Фондом Форда. Авторы использовали данные по 24 отраслям обрабатывающей промышленности США за 1948–1957 годы и оценили значения σ в диапазоне от 0,5 до 1,2. Это открытие стимулировало развитие более гибких функциональных форм, таких как функция с переменной эластичностью замещения (VES).

Свойства и особенности

Постоянная отдача от масштаба

Если параметр ν = 1, CES-функция обладает свойством постоянной отдачи от масштаба: увеличение всех факторов в t раз приводит к увеличению выпуска также в t раз. При ν > 1 наблюдается возрастающая отдача, при ν < 1 — убывающая.

Предельные продукты и замещение

Предельные продукты факторов для CES-функции положительны, но убывают по мере увеличения использования соответствующего фактора. Предельная норма технического замещения (MRTS) между капиталом и трудом равна:

\[ MRTS_{K,L} = \frac{\alpha}{1-\alpha} \left( \frac{K}{L} \right)^{-(1+\rho)} \]

Это выражение показывает, что при увеличении соотношения K/L MRTS убывает, что характерно для выпуклых изоквант.

Изокванты

Изокванты CES-функции имеют форму, промежуточную между L-образной (для функции Леонтьева) и прямой линией (для линейной функции). Чем выше σ, тем более пологими и «изогнутыми» становятся изокванты, приближаясь к прямым при σ → ∞.

Многофакторная CES-функция

CES-функция может быть обобщена на случай n факторов производства. В общем виде:

\[ Q = A \left( \sum_{i=1}^{n} \beta_i x_i^{-\rho} \right)^{-\frac{\nu}{\rho}} \]

где \( x_i \) — объём i-го фактора, \( \beta_i \) — весовые коэффициенты, сумма которых обычно равна 1. Такая форма используется в моделях многосекторной экономики, например, в моделях общего равновесия (CGE-модели) и в анализе международной торговли (модель Армингтона).

Применение в экономике

Макроэкономика и теория производства

CES-функция является стандартным инструментом для моделирования агрегированного производства. Она позволяет учитывать различную степень замещаемости между капиталом и трудом, что важно для анализа долгосрочного экономического роста, распределения доходов и эффектов технического прогресса. Например, в модели Солоу с CES-функцией темпы роста могут зависеть от эластичности замещения.

Теория потребления и полезности

В микроэкономике CES-функция используется как функция полезности для моделирования потребительского выбора между несколькими товарами. В этом случае параметр σ интерпретируется как эластичность замещения в потреблении. При σ → 0 товары рассматриваются как совершенные комплементы, при σ → ∞ — как совершенные субституты. Функция полезности CES часто применяется в моделях с репрезентативным потребителем.

Международная торговля

В модели Армингтона (1969) CES-функция используется для описания предпочтений потребителей между отечественными и импортными товарами. Эластичность замещения в этой модели определяет, насколько легко потребители переключаются между товарами разных стран при изменении относительных цен. Оценки этой эластичности имеют ключевое значение для расчёта эффектов торговой политики, таких как тарифы или квоты.

Эконометрика

CES-функция часто оценивается эконометрически по временным рядам или панельным данным. Параметры (A, α, ρ, ν) могут быть оценены с помощью нелинейного метода наименьших квадратов или метода максимального правдоподобия. Однако из-за нелинейности модели оценка может быть сложной и требовать больших объёмов данных.

Критика и ограничения

Основное ограничение CES-функции — предположение о постоянстве эластичности замещения, которое может не выполняться на практике. Эмпирические исследования показывают, что эластичность замещения может изменяться со временем, в зависимости от уровня развития экономики или технологического режима. Для преодоления этого ограничения были разработаны функции с переменной эластичностью замещения (VES), такие как функция Сато и Хоффмана (1968) или функция Линника — Цая (1971).

Кроме того, CES-функция предполагает однородность факторов (например, весь капитал считается одинаковым), что не учитывает качественные различия. В многофакторных версиях проблема усложняется необходимостью выбора весовых коэффициентов и параметров замещения между парами факторов.

Интересные факты

• В оригинальной статье 1961 года авторы использовали обозначение σ для эластичности замещения, которое стало стандартным в экономической литературе.
• CES-функция является частным случаем более общего класса функций, известных как функции с постоянной относительной эластичностью (CRES).
• В советской экономической науке CES-функция активно изучалась в 1970–1980-х годах, в частности, в работах В. М. Полтеровича и А. А. Петрова, которые адаптировали её для анализа плановой экономики.
• Параметр ρ в CES-функции связан с эластичностью замещения нелинейно: при ρ = 0 функция не определена, но предел при ρ → 0 даёт функцию Кобба — Дугласа.

Источники

• Arrow, K. J., Chenery, H. B., Minhas, B. S., & Solow, R. M. (1961). Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. The Review of Economics and Statistics, 43(3), 225–250.
• Hicks, J. R. (1932). The Theory of Wages. London: Macmillan.
• Sato, R., & Hoffman, R. F. (1968). Production Functions with Variable Elasticity of Substitution: Some Analysis and Testing. The Review of Economics and Statistics, 50(4), 453–460.
• Армстронг, П. (1969). A Theory of Demand for Products Distinguished by Place of Production. IMF Staff Papers, 16(1), 159–178.
• Полтерович, В. М. (1990). Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. М.: Наука.