Геометрия — раздел математики о пространстве и фигурах¶

Геометрия (от др.-греч. γῆ — «земля» и μέτρον — «мера») — раздел математики, изучающий свойства и отношения геометрических объектов: точек, прямых, плоскостей, поверхностей и тел, а также преобразования, им свойственные. Одна из древнейших математических дисциплин, сложившаяся как практическая наука о землемерии и строительстве и впоследствии развившаяся в строгую аксиоматическую теорию.

¶Происхождение и этимология

Термин «геометрия» ввёл древнегреческий философ Пифагор (VI в. до н. э.), хотя само слово используется и в более ранних египетских и вавилонских текстах. В Древнем Египте геометрия возникла из необходимости восстанавливать границы полей после разливов Нила и проектировать пирамиды; в Вавилоне — из астрономических и землемерных задач. В Древней Греции геометрия получила развитие как система дедуктивных рассуждений: Евклид в III в. до н. э. в трактате «Начала» сформулировал пять постулатов и на их основе построил обширную систему теорем, ставшую образцом математического доказательства на два тысячелетия.

¶Основные разделы

¶Классические основания

Классическая евклидова геометрия опирается на пять постулатов, из которых пятый (о параллельных) оказался несводимым к остальным. В XIX веке Н. И. Лобачевский (1829), Я. Бояй и К. Ф. Гаусс независимо друг от друга показали, что его отрицание даёт непротиворечивую геометрию — гиперболическую (геометрия Лобачевского). Позднее Б. Риман (1854) развил общую теорию многомерных пространств переменной кривизны. Эти работы показали, что геометрия — не единственная, а одна из возможных моделей пространства, что стало одним из величайших открытий XIX века.

¶Аналитическая и дифференциальная геометрия

Аналитическая геометрия была создана Рене Декартом и Пьером де Ферма в XVII веке: геометрические объекты описываются уравнениями, а свойства фигур — свойствами этих уравнений. Дифференциальная геометрия, связанная с именами Л. Эйлера, Г. Ф. Б. Римана и С. С. Ковалевской, изучает кривые и поверхности средствами математического анализа (кривизна, касательные плоскости, линейные элементы). В XX веке дифференциальная геометрия стала основой общей теории относительности А. Эйнштейна, где гравитация трактуется как кривизна пространства-времени.

¶Геометрия в России

Русская геометрическая школа получила развитие в работах Н. И. Лобачевского (Казанский университет), Л. Эйлера (Петербургская академия наук), П. Л. Чебышёва, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунова. В XX веке крупный вклад внесли Д. К. Фаддеев, И. Р. Шафаревич, Ю. И. Манин, В. И. Арнольд. Московская и ленинградская школы геометрии (В. Ф. Каган, А. Д. Александров, П. К. Рашевский) разработали новые направления — метрическую теорию поверхностей, геометрию многомерных пространств.

¶Применение

Геометрия применяется в физике и астрономии (механика, теория относительности), инженерии и архитектуре, компьютерной графике и робототехнике (алгоритмы трассировки лучей, задачи планирования движения), картографии, кристаллографии, медицинской визуализации. Аналитическая и вычислительная геометрия лежат в основе компьютерного зрения и геоинформационных систем.

¶Смежные понятия

С геометрией тесно связаны топология (изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях) и геометрическая алгебра — современный подход, объединяющий векторный анализ и кватернионы в единую систему.

¶Источники

• Евклид. Начала.
• Лобачевский Н. И. Воображаемая геометрия (1835).
• Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии (1854).
• Александров А. Д. Лекции по основаниям геометрии.
• Каган В. Ф. Основания геометрии.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. История математики с древнейших времён до начала XIX века.