Гиперболоид — геометрическое тело вращения¶
Гиперболоид — квадратичная поверхность второго порядка, образованная вращением гиперболы вокруг оси симметрии. Различают однополостный гиперболоид (поворот гиперболы вокруг её мнимой оси) и двуполостный гиперболоид (вращение вокруг действительной оси). Оба тела являются частными случаями эллипсоида и гиперболоида как обобщённых эллипсоидов.
¶Определение и уравнения
В декартовой системе координат однополостный гиперболоид вращения задаётся уравнением
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1,$$
где $a$ — радиус горизонтального сечения в плоскости $z = 0$, а $c$ — параметр, определяющий «быстроту» расхождения образующих. Двуполостный гиперболоид описывается соотношением
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1.$$
При $c \to \infty$ однополостный гиперболоид вырождается в цилиндр, при $a \to \infty$ — в круговой конус. Двуполостный гиперболоид при $c \to \infty$ переходит в параболоид вращения.
¶Геометрические свойства
¶Однополостный гиперболоид
Однополостный гиперболоид — единственная квадратичная поверхность, являющаяся линейчатой: через каждую его точку проходят две прямые, целиком лежащие на поверхности. Эти прямые называются образующими. Существует два семейства образующих, причём прямые одного семейства не пересекаются между собой, а любая прямая одного семейства пересекает все прямые второго семейства.
Благодаря линейчатости однополостный гиперболоид можно построить из прямолинейных элементов, что находит применение в строительстве и технике.
Горизонтальные сечения однополостного гиперболоида — окружности радиуса $r(z) = a\sqrt{1 + z^2/c^2}$. Вертикальные сечения, проходящие через ось, — гиперболы. Существуют два семейства круговых сечений, наклонных к оси.
¶Двуполостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), симметричных относительно плоскости $z = 0$. Он не является линейчатой поверхностью. Горизонтальные сечения при $|z| < c$ пусты, при $|z| > c$ — окружности. Вертикальные сечения — гиперболы.
¶Обобщённый гиперболоид
В общем виде гиперболоид задаётся уравнением
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = \pm 1,$$
где $a \neq b$. Такой гиперболоид не является телом вращения, но сохраняет основные топологические свойства соответствующего типа.
¶Применение
¶Архитектура и строительство
Наиболее известное сооружение, использующее форму гиперболоида, — Останкинская телебашня (Москва, 1967 год, архитектор Николай Никитин). Высота башни — 540,1 метра. Несущая конструкция выполнена в форме однополостного гиперболоида: прямолинейные арматурные стержни образуют гиперболоидную поверхность, что обеспечивает высокую жёсткость при относительно малом расходе материала. Идея применения гиперболоида в конструкции башни была предложена Никитиным в 1960 году.
Другой пример — гиперболоидные градирни (охлаждающие башни) тепловых и атомных электростанций. Их форма обусловлена не только аэродинамическими свойствами (хорошая тяга), но и технологией строительства: каркас из прямых стержней формирует криволинейную поверхность.
В XIX веке инженер Владимир Шухов построил несколько гиперболоидных конструкций, в том числе гиперболоидную вышку на Всероссийской выставке в Нижнем Новгороде (1896 год) и шуховские водонапорные башни.
¶Техника
Гиперболоидные поверхности применяются в антенной технике: параболоидные и гиперболоидные отражатели используются в радиотелескопах и спутниковых антеннах. В оптике гиперболические зеркала (части гиперболоида) применяются в катоптрических системах, например в кассегреновских телескопах.
¶Математика
Гиперболоид является классическим примером при изучении линейчатых поверхностей, проективной геометрии и теории относительности: в минковском пространстве однополостный гиперболоид моделирует пространство единичных временных векторов (гиперболическое пространство).
¶См. также
¶Источники
- Кочин Н. Ф. «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления», 1965.
- Никитин Н. В. «Как строилась Останкинская телебашня», 1970.
- Фоменко А. Т. «Наглядная геометрия», 2003.
- Большая математическая энциклопедия, статья «Гиперболоид».