Цилиндр как геометрическое тело¶

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые её пересекают. В элементарной геометрии под цилиндром чаще всего понимают прямой круговой цилиндр: тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр относится к классу тел вращения и занимает одно из центральных мест как в школьном курсе стереометрии, так и в инженерной практике.

¶Определение и элементы

Прямой круговой цилиндр состоит из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях (основания), и боковой поверхности, соединяющей их. Основные элементы:

• Радиус основания (R) — радиус круга, лежащего в основании.
• Высота (h) — расстояние между плоскостями оснований, равное длине образующей.
• Образующая — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований; в прямом цилиндре образующие перпендикулярны основаниям.
• Ось — прямая, проходящая через центры оснований.

Если образующие не перпендикулярны основаниям, цилиндр называется наклонным. Если основание — не круг, а иная кривая, говорят об эллиптическом или общем цилиндре.

¶Формулы

Для прямого кругового цилиндра радиуса R и высоты h справедливы соотношения:

Объём цилиндра был известен ещё в античности: Архимед доказал, что объём цилиндра равен половине объёма описанного вокруг него шара с тем же радиусом и высотой. Этот результат он считал одним из главных своих достижений.

¶История изучения

Цилиндрические формы встречаются уже в древней архитектуре — колонны, барабаны, водосточные трубы. Систематическое изучение цилиндра как геометрического тела началось в Древней Греции. Архимед в трактате «О шаре и цилиндре» вывел формулы площади поверхности и объёма, а также установил соотношение между шаром и описанным цилиндром.

В Новое время цилиндр стал объектом аналитической геометрии: Декарт и последующие математики описывали его уравнениями в координатах. В XIX–XX веках понятие цилиндра обобщили в дифференциальной геометрии и топологии — появились цилиндрические поверхности над произвольными кривыми, а также понятие цилиндра как топологического произведения отрезка и окружности.

¶Виды цилиндров

• Прямой круговой — классический случай, основания перпендикулярны оси.
• Наклонный — образующие наклонены к основаниям.
• Эллиптический — в основании эллипс.
• Гиперболический и параболический — задаются соответствующими кривыми второго порядка.
• Полый (труба) — тело между двумя соосными цилиндрическими поверхностями.
• Усечённый — с плоскостью, пересекающей тело не параллельно основанию.

¶Применение

Цилиндрическая форма широко используется в технике и быту:

• Трубы и трубопроводы — транспорт жидкостей и газов.
• Ёмкости — бочки, цистерны, баллоны, консервные банки: при заданном объёме цилиндр экономичен по расходу материала.
• Детали машин — поршни, валы, втулки, подшипники, гильзы двигателей.
• Архитектура — колонны, ротонды, барабаны куполов.
• Оптика и акустика — цилиндрические линзы и зеркала, корпуса приборов.

Цилиндрическая форма удобна технологически: её легко получать точением, литьём, прокаткой и штамповкой.

¶Цилиндр в математике и смежных науках

В аналитической геометрии прямой круговой цилиндр с осью Oz описывается уравнением x² + y² = R². В топологии цилиндр — пример двумерного многообразия с краем, гомеоморфный кольцу. В механике рассматривают моменты инерции цилиндра, в гидродинамике — обтекание цилиндрических тел, в кристаллографии — цилиндрическую симметрию.

Отдельно выделяют цилиндрические координаты — систему координат, обобщающую полярные на плоскости добавлением третьей оси, удобную для описания тел вращения.

¶Интересные факты

• Архимед завещал изобразить на своей гробнице шар и цилиндр в знак своего главного открытия.
• Цилиндр — одна из немногих фигур, для которых задача о наименьшей поверхности при заданном объёме имеет простое решение.
• В повседневной речи «цилиндром» называют также головной убор — высокую шляпу с плоским верхом, вошедшую в моду в XIX веке.

Источники: учебники по стереометрии, трактат Архимеда «О шаре и цилиндре», справочники по аналитической геометрии и инженерной графике.