График логарифмической функции¶
График логарифма — это кривая, изображающая на декартовой плоскости зависимость значения логарифмической функции \(y = \log_a x\) от её аргумента \(x\). График определён только для положительных значений аргумента, проходит через точку \((1; 0)\) и при \(a > 1\) представляет собой монотонно возрастающую кривую, крутизна которой убывает с ростом \(x\). Форма кривой не зависит от выбора основания \(a\) с точностью до вертикального растяжения, поскольку все логарифмы связаны между собой постоянным множителем.
¶Определение и область построения
Логарифмическая функция \(y = \log_a x\) определена при \(a > 0\), \(a \neq 1\) и \(x > 0\). Область определения графика — правая полуплоскость без самой оси ординат: точка \(x = 0\) не входит в неё, поскольку логарифм нуля не существует. Область значений — вся числовая прямая, поэтому график неограниченно продолжается вверх или вниз в зависимости от основания.
Ключевые точки, через которые всегда проходит кривая:
- \((1; 0)\) — логарифм единицы равен нулю при любом основании;
- \((a; 1)\) — логарифм основания равен единице;
- \((1/a; -1)\) — обратная величина даёт значение минус единица.
¶Свойства графика
Основные характеристики кривой вытекают из свойств самой функции.
| Свойство | При \(a > 1\) | При \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| Монотонность | возрастает | убывает |
| Поведение при \(x \to 0^+\) | \(y \to -\infty\) | \(y \to +\infty\) |
| Поведение при \(x \to +\infty\) | \(y \to +\infty\) (медленно) | \(y \to -\infty\) (медленно) |
| Нули | \(x = 1\) | \(x = 1\) |
| Асимптота | ось \(Oy\) | ось \(Oy\) |
Ось ординат служит вертикальной асимптотой: кривая приближается к ней сколь угодно близко, но не пересекает. Горизонтальных асимптот нет. График выпуклый вверх при \(a > 1\) и выпуклый вниз при \(0 < a < 1\).
Рост функции при \(a > 1\) крайне медленный: чтобы значение логарифма увеличилось на единицу, аргумент должен возрасти в \(a\) раз. Именно поэтому кривая после точки \((1; 0)\) быстро выполаживается и внешне напоминает замедляющийся подъём.
¶Связь с графиком показательной функции
Логарифмическая и показательная функции \(y = a^x\) взаимно обратны. Их графики симметричны относительно прямой \(y = x\) — биссектрисы первого и третьего координатных углов. Это означает, что график логарифма можно получить зеркальным отражением экспоненты относительно указанной прямой. Такая симметрия объясняет, почему область определения одной функции совпадает с областью значений другой.
¶Преобразования графика
Из базовой кривой \(y = \log_a x\) получаются более сложные графики:
- \(y = \log_a x + b\) — вертикальный сдвиг на \(b\) единиц;
- \(y = \log_a (x - c)\) — горизонтальный сдвиг на \(c\) единиц вправо;
- \(y = k \log_a x\) — вертикальное растяжение при \(|k| > 1\) или сжатие при \(|k| < 1\);
- \(y = \log_a |x|\) — добавление ветви в левой полуплоскости, симметричной правой;
- \(y = |\log_a x|\) — отражение части кривой, лежащей ниже оси абсцисс, вверх.
Смена основания \(a\) на \(b\) равносильна умножению функции на постоянный множитель \(1 / \log_b a\), то есть вертикальному масштабированию. Поэтому все графики логарифмов с разными основаниями \(a > 1\) качественно подобны.
¶Применение и значение
График логарифма используется при изучении процессов, описываемых логарифмическими зависимостями. В логарифмическом масштабе координатных осей степенные и показательные зависимости превращаются в прямые линии, что облегчает их анализ. Это свойство лежит в основе построения логарифмической бумаги, полулогарифмических и логарифмических координат.
В естественных науках форма логарифмической кривой описывает:
- зависимость громкости звука от интенсивности (децибельная шкала);
- шкалу звёздных величин в астрономии;
- зависимость силы землетрясения от энергии (шкала Рихтера);
- рост числа операций в алгоритмах, имеющих логарифмическую сложность;
- кривые обучения и ряд экономических моделей.
В школьном курсе математики построение графика логарифма служит иллюстрацией свойств обратной функции и применяется при решении логарифмических уравнений и неравенств графическим методом.
¶Особые случаи
При основании \(a = e\) (число Эйлера, приблизительно 2,718) график называют графиком натурального логарифма. Его касательная в точке \((1; 0)\) имеет угловой коэффициент, равный единице, — это одна из характеристик числа \(e\). При основании \(a = 10\) говорят о графике десятичного логарифма. Обе кривые качественно совпадают с общим случаем \(a > 1\), различаясь лишь масштабом по вертикали.
Источники: учебники по алгебре и началам анализа для средней школы, справочники по элементарной математике, материалы по математическому анализу.