Гравитационная модель Земли

Гравитационная модель Земли — это математическое описание гравитационного поля планеты, представляющее собой аппроксимацию реального распределения масс и формы Земли. В отличие от идеализированных моделей (например, шара или эллипсоида), гравитационная модель учитывает аномалии силы тяжести, вызванные неоднородностью внутреннего строения, рельефом поверхности, вращением планеты и приливными воздействиями. Основной целью построения таких моделей является точное определение параметров гравитационного поля для решения задач геодезии, геофизики, навигации и космической механики.

История развития

Ранние представления

Первые попытки описать гравитационное поле Земли были связаны с работами Исаака Ньютона (XVII век), который сформулировал закон всемирного тяготения. Ньютон предположил, что Земля имеет форму сплюснутого у полюсов эллипсоида вращения, что объяснялось центробежной силой. Однако точные измерения силы тяжести в разных точках планеты, проведённые в XVIII–XIX веках, выявили систематические отклонения от эллипсоидальной модели.

Классические модели

В 1828 году Карл Фридрих Гаусс предложил использовать нормальную формулу для силы тяжести на поверхности эллипсоида. В 1909 году Джон Филлипс и Гельмерт разработали первую международную формулу нормальной силы тяжести, основанную на эллипсоиде Красовского (1940 год). Эти модели описывали гравитационное поле как функцию широты, но не учитывали региональные аномалии.

Спутниковая эра

С запуском искусственных спутников Земли (ИСЗ) в 1950–1960-х годах появилась возможность глобального мониторинга гравитационного поля. Спутники, такие как «Лагеос» (1976) и «Грейс» (2002), позволили измерять гравитационные аномалии с высокой точностью. В 2009 году Европейское космическое агентство запустило миссию GOCE (Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer), которая обеспечила данные с разрешением до 100 км. Эти данные легли в основу современных моделей, таких как EGM2008 (Earth Gravitational Model 2008) и EGM2020.

Основные компоненты гравитационного поля

Нормальное гравитационное поле

Нормальное поле — это теоретическая модель, описывающая гравитацию на поверхности идеализированного эллипсоида вращения (референц-эллипсоида). Оно вычисляется по формуле: \[ \gamma = \gamma_0 (1 + \beta \sin^2 \phi + \beta_1 \sin^2 2\phi + \dots) \] где \(\gamma_0\) — сила тяжести на экваторе, \(\phi\) — геодезическая широта, \(\beta\) и \(\beta_1\) — коэффициенты, зависящие от сжатия и вращения Земли. Нормальное поле не учитывает локальные неоднородности.

Аномалии силы тяжести

Аномалии — это разности между измеренной силой тяжести и нормальным полем. Они делятся на:

• Гравитационные аномалии в свободном воздухе — учитывают только высоту точки измерения над эллипсоидом.
• Аномалии Буге — дополнительно корректируют влияние массы пород между точкой измерения и эллипсоидом.
• Изостатические аномалии — компенсируют региональные эффекты, связанные с изостатическим равновесием коры.

Гравитационный потенциал

Гравитационное поле Земли описывается потенциалом \(U\), который удовлетворяет уравнению Лапласа вне масс и уравнению Пуассона внутри них. Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям (гармоникам) позволяет представить его в виде: \[ U = \frac{GM}{r} \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \left( \frac{R}{r} \right)^n (C_{nm} \cos m\lambda + S_{nm} \sin m\lambda) P_{nm}(\sin \phi) \] где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса Земли, \(R\) — средний радиус, \(r\) — расстояние от центра, \(\lambda\) — долгота, \(P_{nm}\) — присоединённые полиномы Лежандра, \(C_{nm}\) и \(S_{nm}\) — коэффициенты гармоник.

Методы построения моделей

Наземные измерения

• Гравиметры — приборы для измерения ускорения свободного падения. Современные абсолютные гравиметры (например, FG5) обеспечивают точность до 1 мкГал (10⁻⁸ м/с²).
• Относительные гравиметры — измеряют разности силы тяжести между точками (например, Scintrex CG-6).
• Морская гравиметрия — измерения на кораблях с учётом качки и движения.

Спутниковая гравиметрия

• Спутниковая альтиметрия — измерение высоты морской поверхности, которая отражает гравитационные аномалии (миссии TOPEX/Poseidon, Jason).
• Спутниковая градиентометрия — измерение вторых производных гравитационного потенциала (миссия GOCE).
• Спутниковая лазерная локация — определение орбит спутников с высокой точностью (LAGEOS).

Аэрогравиметрия

Измерения с самолётов или беспилотников, позволяющие получать данные в труднодоступных районах (например, в Арктике или горных регионах). Точность таких измерений составляет 1–5 мГал (10⁻⁵ м/с²).

Современные модели

EGM2008

Разработана Национальным агентством геопространственной разведки США (NGA) в 2008 году. Модель включает гармоники до степени 2159 (разрешение около 9 км) и основана на данных спутников GRACE, наземных и морских измерений. Используется для расчёта геоида — поверхности, совпадающей с уровнем моря в отсутствие возмущений.

EGM2020

Обновлённая модель, выпущенная в 2020 году, с улучшенным учётом данных GOCE и региональных гравиметрических съёмок. Степень разложения — до 2190, что обеспечивает разрешение около 8 км.

Региональные модели

• Российская модель ГАО РАН — разработана в Главной астрономической обсерватории РАН, учитывает данные гравиметрической съёмки территории России и сопредельных акваторий.
• Модель EIGEN-6C — совместная разработка Европейского космического агентства и GFZ (Германия), степень 1429.

Применение

Геодезия и картография

Гравитационные модели используются для построения геоида — базовой поверхности для отсчёта высот в системах координат (например, в России — система «ПЗ-90.11»). Геоид позволяет пересчитывать эллипсоидальные высоты в ортометрические (над уровнем моря).

Геофизика

• Изучение внутреннего строения Земли — аномалии гравитации указывают на плотностные неоднородности в коре и мантии (например, зоны субдукции, мантийные плюмы).
• Поиск полезных ископаемых — гравитационные аномалии коррелируют с залежами нефти, газа, рудных месторождений (например, в Западной Сибири или на Кольском полуострове).

Навигация

• Инерциальная навигация — для коррекции показаний акселерометров в системах навигации подводных лодок и самолётов.
• Спутниковая навигация — уточнение орбит навигационных спутников (ГЛОНАСС, GPS) с учётом гравитационных возмущений.

Космическая механика

Расчёт траекторий космических аппаратов, особенно на низких орбитах (до 500 км), где гравитационные аномалии вызывают значительные возмущения.

Критика и ограничения

• Разрешение — глобальные модели (EGM2008) имеют ограниченное разрешение в горных районах и океанах, где данные наземных измерений редки.
• Временная изменчивость — гравитационное поле Земли меняется из-за движения тектонических плит, таяния ледников, изменения уровня моря. Модели EGM не учитывают эти эффекты, для их учёта требуются временные ряды (например, данные GRACE Follow-On).
• Неопределённость коэффициентов — высшие гармоники (степень > 2000) имеют большие погрешности из-за недостатка данных.
• Зависимость от референц-эллипсоида — разные системы координат (WGS-84, ПЗ-90) дают разные значения нормального поля, что требует согласования.

Интересные факты

• Геоид Земли имеет форму, напоминающую «грушу»: в Северном полушарии он приподнят на 15–20 м относительно эллипсоида, а в Южном — опущен на 30–40 м.
• Наибольшая гравитационная аномалия на Земле (до 300 мГал) наблюдается в районе Индонезийского архипелага из-за зоны субдукции.
• Данные миссии GOCE позволили впервые построить глобальную карту гравитационного поля с разрешением 100 км, что улучшило понимание циркуляции океанов.

Источники

• Heiskanen W. A., Moritz H. «Physical Geodesy» (1967).
• Pavlis N. K. et al. «The EGM2008 Earth Gravitational Model» (2012).
• ESA. «GOCE: Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer» (2009).
• ГАО РАН. «Модель гравитационного поля Земли» (2020).
• ГОСТ Р 51794-2008 «Системы координат. Методы преобразований».