Хельмут Хассе

Хельмут Хассе (нем. Helmut Hasse; 25 августа 1898, Кассель — 26 декабря 1979, Аренсбург) — немецкий математик, один из крупнейших алгебраистов XX века. Основные труды посвящены алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии, теории полей классов и теории квадратичных форм. Известен формулировкой принципа Хассе (принцип локально-глобального соответствия) и доказательством теоремы Хассе — Минковского для квадратичных форм.

Биография

Ранние годы и образование

Хельмут Хассе родился 25 августа 1898 года в Касселе (Германская империя) в семье судьи Пауля Хассе и его жены Маргарет. В 1915 году, после окончания гимназии, был призван в армию и участвовал в Первой мировой войне. После войны, в 1918 году, поступил в Гёттингенский университет, где изучал математику под руководством Эриха Гекке, Эдмунда Ландау и Феликса Клейна. В 1921 году защитил докторскую диссертацию «О числе классов бинарных квадратичных форм» (нем. Über die Klassenzahl binärer quadratischer Formen), научным руководителем которой был Гекке.

Академическая карьера

После защиты Хассе преподавал в Кильском университете (1922–1925), затем в Галльском университете (1925–1930). В 1930 году стал профессором Марбургского университета, где работал до 1934 года. В 1934 году перешёл в Гёттингенский университет, сменив на посту директора Математического института Германа Вейля, эмигрировавшего в США. В 1937 году, в связи с политикой нацистского режима, Хассе был вынужден покинуть Гёттинген из-за своего еврейского происхождения по материнской линии, хотя его отец был арийцем. Он переехал в Берлинский университет, где преподавал до 1945 года. После Второй мировой войны Хассе вернулся в Гёттинген, но в 1948 году переехал в Гамбургский университет, где работал до выхода на пенсию в 1966 году. Умер 26 декабря 1979 года в Аренсбурге.

Научный вклад

Теория чисел

Хассе внёс фундаментальный вклад в алгебраическую теорию чисел. Его главное достижение — принцип Хассе (принцип локально-глобального соответствия), который утверждает, что для квадратичных форм над полем рациональных чисел существование нетривиального решения в вещественных числах и во всех p-адических полях равносильно существованию решения в рациональных числах. Этот принцип был обобщён на эллиптические кривые (теорема Хассе — Минковского), хотя для эллиптических кривых принцип Хассе не всегда выполняется (контрпримеры известны как кривые, не удовлетворяющие принципу Хассе).

Теория полей классов

Хассе совместно с Эмилем Артином и другими математиками развил теорию полей классов — раздел алгебраической теории чисел, изучающий абелевы расширения полей алгебраических чисел. Он доказал теорему Хассе о норменном символе и ввёл понятие инварианта Хассе (инвариант алгебры над локальным полем). В 1930-х годах Хассе работал над гипотезой Хассе для эллиптических кривых, которая позже была доказана Андре Вейлем.

Квадратичные формы

Хассе завершил классификацию квадратичных форм над полем рациональных чисел, доказав, что две квадратичные формы эквивалентны над рациональными числами тогда и только тогда, когда они эквивалентны над всеми p-адическими полями и над вещественными числами. Этот результат известен как теорема Хассе — Минковского.

Эллиптические кривые

Хассе доказал теорему Хассе для эллиптических кривых над конечными полями: число точек на эллиптической кривой над конечным полем из q элементов удовлетворяет неравенству |#E(F_q) — q — 1| ≤ 2√q. Эта теорема является ключевой в криптографии на эллиптических кривых.

Основные труды

Хассе опубликовал более 200 научных работ и несколько монографий. Наиболее известные:

• «Vorlesungen über Zahlentheorie» (Лекции по теории чисел, 1950) — классический учебник по алгебраической теории чисел.
• «Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen» (1923) — работа, заложившая основы принципа Хассе.
• «Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper» (1926–1930) — обзор по теории полей классов.

Признание и награды

• Член Гёттингенской академии наук (1934).
• Член-корреспондент Прусской академии наук (1939).
• Почётный доктор университетов Киля, Гамбурга и других.
• В 1970 году награждён медалью Котениуса Леопольдины.

Интересные факты

• Хассе был одним из редакторов журнала «Crelle’s Journal» (Journal für die reine und angewandte Mathematik) с 1930 по 1979 год.
• Во время Второй мировой войны он участвовал в немецких военных исследованиях, в частности, в области шифрования, но его работы не имели практического значения.
• В 1933 году Хассе подписал «Заявление профессоров немецких университетов и высших школ в поддержку Адольфа Гитлера», что впоследствии критиковалось историками, хотя его собственное положение было шатким из-за еврейского происхождения матери.

Критика и наследие

Научное наследие Хассе оценивается как одно из важнейших в алгебраической теории чисел XX века. Принцип Хассе и теорема Хассе — Минковского остаются фундаментальными инструментами современной математики. Однако его политическая позиция в нацистский период вызывает споры: с одной стороны, он пытался сохранить немецкую математическую науку, с другой — его подпись под пронацистскими документами и сотрудничество с режимом (включая участие в военных проектах) подвергаются критике. После войны Хассе не был подвергнут денацификации и продолжил академическую карьеру.

Источники

• Hasse, Helmut. Vorlesungen über Zahlentheorie. — Springer, 1950.
• Roquette, Peter. The Riemann Hypothesis in Characteristic p in Historical Perspective. — Springer, 2018.
• Scharlau, Winfried. Helmut Hasse: 1898–1979. — Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1981.
• Lemmermeyer, Franz. The Development of the Principal Genus Theorem. — 2007.