Интегральный логарифм¶

Интегральный логарифм — это специальная функция, определяемая как интеграл от логарифмической функции, обратной к экспоненциальной. В математике интегральный логарифм обычно обозначается как \(\operatorname{li}(x)\) и используется в теории чисел, особенно в связи с распределением простых чисел, а также в анализе и статистической физике. Основное определение интегрального логарифма для положительных вещественных чисел \(x > 0\), \(x \neq 1\) даётся формулой:

\[ \operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t}, \]

где интеграл понимается в смысле главного значения Коши (при \(x > 1\) возникает особенность в точке \(t = 1\), и интеграл берётся как предел \(\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln t} \right)\)). Для \(x < 1\) интеграл сходится в обычном смысле. Интегральный логарифм тесно связан с логарифмической интегральной функцией \(\operatorname{Li}(x)\), которая определяется без особенности при \(x = 1\) и часто используется в асимптотических оценках.

¶Определение и основные свойства

Интегральный логарифм \(\operatorname{li}(x)\) является неэлементарной функцией, то есть не выражается через конечную комбинацию элементарных функций (степенных, показательных, тригонометрических и их обратных). Его можно представить как сумму экспоненциального интеграла \(\operatorname{Ei}(x)\) и константы: \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\), где экспоненциальный интеграл определяется как \(\operatorname{Ei}(x) = -\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt\) (для \(x > 0\)). Для \(x > 1\) интегральный логарифм принимает положительные значения, а для \(0 < x < 1\) — отрицательные, причём \(\lim_{x \to 0^+} \operatorname{li}(x) = 0\) и \(\lim_{x \to 1^-} \operatorname{li}(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to 1^+} \operatorname{li}(x) = +\infty\).

¶Разложение в ряд

Интегральный логарифм можно разложить в ряд для \(x > 1\):

\[ \operatorname{li}(x) = \gamma + \ln \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^k}{k \cdot k!}, \]

где \(\gamma \approx 0.5772156649\) — постоянная Эйлера—Маскерони. Это разложение сходится для всех \(x > 0\), \(x \neq 1\). Для больших \(x\) асимптотическое разложение имеет вид:

\[ \operatorname{li}(x) \sim \frac{x}{\ln x} \left( 1 + \frac{1!}{\ln x} + \frac{2!}{(\ln x)^2} + \frac{3!}{(\ln x)^3} + \cdots \right), \]

что является расходящимся рядом, но даёт хорошее приближение при обрыве на конечном числе членов.

¶Связь с логарифмической интегральной функцией

Часто в литературе используется логарифмическая интегральная функция \(\operatorname{Li}(x)\), определяемая как:

\[ \operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2) \quad \text{или} \quad \operatorname{Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t}. \]

Этот вариант удобен тем, что он не имеет особенности при \(x = 1\) и определён для всех \(x > 1\). В теории чисел именно \(\operatorname{Li}(x)\) чаще всего фигурирует в асимптотических формулах, например, в законе распределения простых чисел.

¶История

Интегральный логарифм впервые появился в работах Леонарда Эйлера в XVIII веке, который изучал интегралы, связанные с логарифмической функцией. Однако систематическое исследование функции началось в XIX веке в связи с работами Карла Фридриха Гаусса и Адриена Мари Лежандра по распределению простых чисел. Гаусс в 1792 году (в возрасте 15 лет) эмпирически заметил, что количество простых чисел, не превосходящих \(x\), приблизительно равно \(\operatorname{li}(x)\), что позже стало основой для формулировки гипотезы о простых числах. В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали асимптотический закон распределения простых чисел, который утверждает, что \(\pi(x) \sim \operatorname{li}(x)\), где \(\pi(x)\) — функция распределения простых чисел.

¶Применение в теории чисел

Основное применение интегрального логарифма — в анализе распределения простых чисел. Функция \(\operatorname{li}(x)\) даёт очень точное приближение для \(\pi(x)\). Например, для \(x = 10^6\) значение \(\pi(10^6) = 78\,498\), а \(\operatorname{li}(10^6) \approx 78\,627.5\), что даёт ошибку около 0.16 %. Для больших \(x\) относительная ошибка стремится к нулю, хотя абсолютная ошибка может расти.

¶Закон распределения простых чисел

Асимптотический закон распределения простых чисел формулируется как:

\[ \pi(x) \sim \operatorname{li}(x) \sim \frac{x}{\ln x}, \]

где символ \(\sim\) означает, что отношение двух функций стремится к 1 при \(x \to \infty\). Более точные оценки, связанные с гипотезой Римана, предполагают, что разность \(|\pi(x) - \operatorname{li}(x)|\) имеет порядок \(O(\sqrt{x} \ln x)\).

¶Сравнение с другими функциями

Интегральный логарифм даёт лучшее приближение, чем \(\frac{x}{\ln x}\), особенно для малых \(x\). Например, при \(x = 10^3\): \(\pi(10^3) = 168\), \(\frac{10^3}{\ln 10^3} \approx 144.8\), а \(\operatorname{li}(10^3) \approx 177.6\). Таким образом, \(\operatorname{li}(x)\) точнее, хотя и не является элементарной функцией.

¶Другие области применения

Помимо теории чисел, интегральный логарифм встречается в:

Аналитической теории чисел: в оценках сумм, связанных с дзета-функцией Римана, и в формулах для числа простых чисел в арифметических прогрессиях.
Статистической физике: в задачах, связанных с логарифмическими потенциалами и распределениями с тяжёлыми хвостами.
Теории вероятностей: в асимптотике экстремальных значений и в распределениях типа Ландау.
Интегральных преобразованиях: как частный случай экспоненциального интеграла.

¶Вычисление

Интегральный логарифм не выражается в элементарных функциях, поэтому для его вычисления используются численные методы. В современных математических пакетах (например, Wolfram Mathematica, MATLAB, библиотеки SciPy для Python) \(\operatorname{li}(x)\) реализован как встроенная функция. Для численного интегрирования применяются квадратурные формулы, адаптированные к особенности при \(x = 1\), или разложение в ряд. Для больших \(x\) эффективно асимптотическое разложение.

¶Интересные факты

Интегральный логарифм связан с гипотезой Римана: если гипотеза верна, то для всех \(x \geq 2\) выполняется неравенство \(|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \ln x\). Это одно из самых сильных известных утверждений о точности приближения.
Функция \(\operatorname{li}(x)\) имеет логарифмическую особенность в точке \(x = 1\), что делает её неопределённой в обычном смысле, но главное значение Коши даёт конечный результат для \(x > 1\).
В 1914 году Джон Литлвуд доказал, что разность \(\pi(x) - \operatorname{li}(x)\) меняет знак бесконечно много раз, то есть \(\operatorname{li}(x)\) не всегда больше \(\pi(x)\), хотя для всех известных \(x\) (до \(10^{20}\)) \(\operatorname{li}(x) > \pi(x)\).

¶Источники

Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 2. — М.: Наука, 1974.
Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: Мир, 1971.
Edwards H. M. Riemann's Zeta Function. — Academic Press, 1974.
Olver F. W. J. et al. NIST Digital Library of Mathematical Functions. — Cambridge University Press, 2010.