Интегрируемость по Риману¶

Интегрируемость по Риману — это свойство функции, позволяющее вычислить определённый интеграл в смысле Римана, то есть предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю. Данное понятие является фундаментальным в математическом анализе и лежит в основе классической теории интеграла.

¶Определение

Пусть функция \( f(x) \) определена на отрезке \([a, b]\). Рассмотрим разбиение отрезка на \( n \) частичных отрезков точками \( a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \). На каждом частичном отрезке \([x_{i-1}, x_i]\) выберем произвольную точку \(\xi_i\) и составим интегральную сумму Римана:

\[ S(f, \tau, \xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i, \]

где \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\). Рангом разбиения называется величина \( \lambda = \max_i \Delta x_i \).

Если существует конечный предел \( I \) интегральных сумм при \(\lambda \to 0\), не зависящий от выбора точек \(\xi_i\) и способа разбиения, то функция \( f(x) \) называется интегрируемой по Риману на отрезке \([a, b]\), а число \( I \) — её определённым интегралом Римана:

\[ I = \int_a^b f(x) \, dx. \]

¶Критерии интегрируемости

¶Критерий Дарбу

Для проверки интегрируемости удобно использовать верхние и нижние суммы Дарбу. Для данного разбиения \(\tau\) они определяются как:

\[ L(f, \tau) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i, \quad U(f, \tau) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i, \]

где \( m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \), \( M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \).

Функция \( f \) интегрируема по Риману на \([a, b]\) тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое разбиение \(\tau\), что

\[ U(f, \tau) - L(f, \tau) < \varepsilon. \]

Это эквивалентно тому, что множество точек разрыва функции имеет меру нуль (критерий Лебега).

¶Критерий Лебега

Функция \( f \) интегрируема по Риману на отрезке \([a, b]\) тогда и только тогда, когда она ограничена на этом отрезке и множество её точек разрыва имеет лебегову меру нуль.

Этот критерий является наиболее общим и позволяет быстро определить интегрируемость многих функций.

¶Классы интегрируемых функций

¶Непрерывные функции

Всякая непрерывная на отрезке \([a, b]\) функция интегрируема по Риману. Это следует из равномерной непрерывности на компакте.

¶Монотонные функции

Любая монотонная (возрастающая или убывающая) на отрезке функция интегрируема по Риману, так как она может иметь не более счётного множества точек разрыва.

¶Функции с конечным числом разрывов

Если функция ограничена на отрезке и имеет лишь конечное число точек разрыва, она интегрируема по Риману. Например, функция Дирихле (равная 1 в рациональных точках и 0 в иррациональных) не интегрируема, так как её разрывы всюду плотны.

¶Кусочно-непрерывные функции

Функция, имеющая на отрезке конечное число точек разрыва первого рода (скачков), интегрируема по Риману.

¶Примеры неинтегрируемых функций

1. Функция Дирихле:

\[ D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\ 0, & x \notin \mathbb{Q}. \end{cases} \] Она не интегрируема по Риману на любом отрезке, так как её нижняя сумма Дарбу всегда равна 0, а верхняя — длине отрезка.

1. Функция Римана (модифицированная):

\[ R(x) = \begin{cases} 1/q, & x = p/q \text{ (несократимая дробь)}, \\ 0, & x \text{ иррационально}. \end{cases} \] Эта функция интегрируема по Риману на \([0, 1]\), так как множество её точек разрыва — рациональные числа, имеющие меру нуль. Интеграл равен 0.

¶Свойства интеграла Римана

¶Линейность

Если \( f \) и \( g \) интегрируемы на \([a, b]\), то для любых констант \(\alpha, \beta\) функция \(\alpha f + \beta g\) также интегрируема, и

\[ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \]

¶Аддитивность по отрезку

Если \( f \) интегрируема на \([a, b]\) и \( c \in (a, b) \), то \( f \) интегрируема на \([a, c]\) и \([c, b]\), причём

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx. \]

¶Монотонность

Если \( f(x) \ge g(x) \) на \([a, b]\) и обе функции интегрируемы, то

\[ \int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx. \]

¶Оценка модуля

Если \( f \) интегрируема на \([a, b]\), то \(|f|\) также интегрируема, и

\[ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx. \]

¶Теорема о среднем

Если \( f \) непрерывна на \([a, b]\), то существует точка \(\xi \in [a, b]\) такая, что

\[ \int_a^b f(x) \, dx = f(\xi) (b - a). \]

¶Связь с первообразной

¶Формула Ньютона — Лейбница

Если функция \( f \) интегрируема по Риману на \([a, b]\) и имеет первообразную \( F \) (то есть \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \in [a, b] \)), то

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a). \]

Это фундаментальная теорема анализа, связывающая дифференцирование и интегрирование.

¶Применение

Интегрируемость по Риману используется в физике для вычисления работы, площади, объёмов, центров масс, а также в экономике и теории вероятностей. Однако для многих современных задач (например, в квантовой механике или теории обобщённых функций) требуется более общий интеграл Лебега, который интегрирует большее количество функций.

¶История

Понятие определённого интеграла в современном виде было введено Бернхардом Риманом в 1854 году в его работе «О возможности представления функции тригонометрическим рядом». Риман обобщил подходы Коши и дал строгое определение через интегральные суммы. Впоследствии теория была развита Дарбу, Лебегом и другими математиками.

¶Источники

• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 2.
• Кудрявцев Л. Д. «Математический анализ», том 1.
• Рудин У. «Основы математического анализа».
• Никольский С. М. «Курс математического анализа».