Коэффициент асимметрии Хинсли—Фане

Коэффициент асимметрии Хинсли—Фане — это статистический показатель, используемый для оценки формы распределения случайной величины, альтернативный классическому коэффициенту асимметрии (моменту третьего порядка). В отличие от классического, он основан на квартилях распределения, что делает его более устойчивым к выбросам (робастным). Предложен американскими статистиками Томасом Хинсли и Джоном Фане в 1980-х годах.

Определение и формула

Коэффициент асимметрии Хинсли—Фане (обозначается как \( H_1 \)) определяется через разницу между длинами верхнего и нижнего хвостов распределения, измеряемых относительно медианы. Формула имеет вид:

\[ H_1 = \frac{(Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1)}{Q_3 - Q_1} \]

где:

• \( Q_1 \) — первый квартиль (25-й процентиль);
• \( Q_2 \) — второй квартиль (медиана, 50-й процентиль);
• \( Q_3 \) — третий квартиль (75-й процентиль).

Значение коэффициента может варьироваться от –1 до 1. Положительное значение указывает на правостороннюю (положительную) асимметрию, когда правый хвост распределения длиннее левого. Отрицательное значение — на левостороннюю (отрицательную) асимметрию. Нулевое значение соответствует симметричному распределению.

Существует также модифицированная версия коэффициента, предложенная теми же авторами, которая учитывает более крайние квантили:

\[ H_2 = \frac{(Q_{0.95} - Q_2) - (Q_2 - Q_{0.05})}{Q_{0.95} - Q_{0.05}} \]

где \( Q_{0.05} \) и \( Q_{0.95} \) — 5-й и 95-й процентили соответственно. Эта версия более чувствительна к хвостам распределения, но менее устойчива к выбросам, чем \( H_1 \).

История

Томас Хинсли (Thomas H. Hinkley) и Джон Фане (John D. Fan) — американские статистики, работавшие в области робастной статистики и анализа данных. В 1980-х годах они предложили альтернативу классическому моменту асимметрии, который, как известно, сильно зависит от выбросов и может давать искажённые результаты при наличии аномальных наблюдений.

Идея заключалась в том, чтобы использовать порядковые статистики (квартили) вместо моментов, что делает оценку более устойчивой. Работа была опубликована в журнале Technometrics в 1984 году под названием «A robust measure of skewness» (Робастная мера асимметрии). С тех пор коэффициент Хинсли—Фане широко используется в прикладной статистике, особенно в тех областях, где данные могут содержать выбросы или не подчиняются нормальному распределению.

Свойства

Робастность

Основное преимущество коэффициента — его устойчивость к выбросам. Поскольку он использует квартили, которые не зависят от крайних значений, его значение не меняется при добавлении или удалении единичных аномальных наблюдений. Это делает его предпочтительным в анализе реальных данных, где выбросы встречаются часто.

Ограниченность диапазона

В отличие от классического коэффициента асимметрии, который может принимать любые значения (от –∞ до +∞), коэффициент Хинсли—Фане всегда лежит в интервале [–1, 1]. Это облегчает интерпретацию и сравнение распределений.

Связь с формой распределения

• Для симметричных распределений (например, нормального, равномерного, симметричного распределения Стьюдента) \( H_1 = 0 \).
• Для распределений с длинным правым хвостом (например, экспоненциального, логнормального, распределения Парето) \( H_1 > 0 \).
• Для распределений с длинным левым хвостом (например, отрицательного экспоненциального) \( H_1 < 0 \).

Недостатки

• Коэффициент нечувствителен к асимметрии, которая проявляется только в крайних хвостах, если она не затрагивает квартили. Например, распределение с одинаковыми квартилями, но разными хвостами может дать \( H_1 = 0 \).
• Для некоторых распределений (например, бимодальных) интерпретация может быть затруднена.

Применение

Коэффициент асимметрии Хинсли—Фане применяется в различных областях, где требуется робастная оценка формы распределения:

• Финансовая статистика — анализ доходности активов, где выбросы (резкие падения или взлёты) могут искажать классические оценки.
• Медицинская статистика — анализ биомаркеров, где данные могут содержать аномальные значения из-за ошибок измерений или редких заболеваний.
• Эконометрика — анализ распределения доходов, где выбросы (сверхбогатые или сверхбедные) могут сильно влиять на моментные оценки.
• Контроль качества — оценка формы распределения параметров продукции, где выбросы могут указывать на дефекты.
• Геофизика и климатология — анализ распределения осадков, температуры и других природных явлений, где выбросы (экстремальные погодные события) являются частью процесса.

Сравнение с классическим коэффициентом асимметрии

Пример расчёта

Рассмотрим набор данных: [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 100]. Медиана \( Q_2 = 3 \), первый квартиль \( Q_1 = 2 \), третий квартиль \( Q_3 = 4 \). Тогда:

\[ H_1 = \frac{(4 - 3) - (3 - 2)}{4 - 2} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \]

Классический коэффициент асимметрии для этого набора будет значительно больше нуля из-за выброса 100, что указывает на правостороннюю асимметрию. Однако \( H_1 = 0 \) показывает, что основная масса данных (между квартилями) симметрична, и асимметрия вызвана лишь одним выбросом.

Критика

Основная критика в адрес коэффициента Хинсли—Фане связана с его недостаточной чувствительностью к асимметрии, которая проявляется только в хвостах распределения. Например, распределение с длинным правым хвостом, но коротким левым может иметь \( H_1 = 0 \), если разница между квартилями и медианой одинакова. В таких случаях рекомендуется использовать модифицированную версию \( H_2 \) или другие робастные меры, например, коэффициент Боули (Bowley’s skewness), который является частным случаем \( H_1 \).

Также отмечается, что коэффициент не подходит для анализа распределений с несколькими модами или сильно скошенных распределений, где квартили могут быть неинформативны.

Источники

1. Hinkley, D. V., & Fan, J. (1984). A robust measure of skewness. Technometrics, 26(4), 375–381.
2. Wilcox, R. R. (2012). Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing. Academic Press.
3. Маршалл, А. (2016). Робастные методы в статистике. Издательство «Статистика».
4. Box, G. E. P., & Cox, D. R. (1964). An analysis of transformations. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 26(2), 211–252.