Коэффициент Эрроу — Пратта

Коэффициент Эрроу — Пратта — это экономическая мера, характеризующая степень неприятия риска индивидом. Он назван в честь американских экономистов Кеннета Эрроу и Джона Пратта, которые независимо друг от друга предложили его в 1960-х годах. Коэффициент позволяет количественно оценить, насколько сильно человек (или организация) избегает риска при принятии решений в условиях неопределённости, и является ключевым инструментом в теории ожидаемой полезности.

Определение и математическая формализация

Коэффициент Эрроу — Пратта основан на функции полезности индивида \( u(x) \), где \( x \) — уровень благосостояния (дохода, богатства). Предполагается, что функция полезности является возрастающей (\( u'(x) > 0 \)) и вогнутой (\( u''(x) < 0 \)) для индивидов, не склонных к риску. Чем сильнее вогнутость, тем выше неприятие риска.

Существуют две основные формы коэффициента:

• Абсолютный коэффициент неприятия риска (ARA — Absolute Risk Aversion):

\[ A(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} \] Этот показатель измеряет неприятие риска в абсолютных величинах. Если \( A(x) \) убывает с ростом \( x \), это означает, что с увеличением богатства индивид становится менее чувствительным к риску в абсолютных единицах (например, готов рисковать большей суммой в долларах). Функции полезности с постоянным абсолютным неприятием риска (CARA) имеют вид \( u(x) = -e^{-\alpha x} \), где \( \alpha \) — постоянный коэффициент.

• Относительный коэффициент неприятия риска (RRA — Relative Risk Aversion):

\[ R(x) = -\frac{x u''(x)}{u'(x)} \] Этот показатель измеряет неприятие риска относительно текущего уровня благосостояния. Если \( R(x) \) постоянен, это означает, что индивид готов рисковать одинаковой долей своего богатства независимо от его размера. Функции полезности с постоянным относительным неприятием риска (CRRA) имеют вид \( u(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma} \) для \( \gamma \neq 1 \) и \( u(x) = \ln(x) \) для \( \gamma = 1 \), где \( \gamma \) — коэффициент относительного неприятия риска.

Интерпретация значений

Коэффициент Эрроу — Пратта не имеет единицы измерения и интерпретируется в зависимости от знака и величины:

• Отрицательное значение: \( A(x) < 0 \) или \( R(x) < 0 \) — индивид склонен к риску (risk-seeking). Его функция полезности выпуклая (\( u''(x) > 0 \)). Такие индивиды предпочитают азартные игры с равными шансами на выигрыш и проигрыш.
• Нулевое значение: \( A(x) = 0 \) или \( R(x) = 0 \) — индивид нейтрален к риску (risk-neutral). Его функция полезности линейна (\( u''(x) = 0 \)). Такой индивид принимает решения исключительно на основе математического ожидания.
• Положительное значение: \( A(x) > 0 \) или \( R(x) > 0 \) — индивид не склонен к риску (risk-averse). Чем выше значение, тем сильнее неприятие риска. Например, индивид с \( R(x) = 5 \) будет избегать даже небольших рисков, а с \( R(x) = 0.5 \) — проявлять умеренную осторожность.

Применение в экономике и финансах

Коэффициент Эрроу — Пратта широко используется в различных областях экономической теории и практики:

Оптимальный портфель и управление активами

В модели Марковица и её обобщениях коэффициент неприятия риска является ключевым параметром, определяющим оптимальное распределение капитала между рискованными и безрисковыми активами. Инвесторы с высоким \( R(x) \) будут держать большую долю в безрисковых активах (например, государственных облигациях), а с низким — в акциях и других рискованных инструментах. Эмпирические исследования показывают, что для типичного инвестора значение \( R(x) \) находится в диапазоне от 1 до 10.

Страхование

В теории страхования коэффициент Эрроу — Пратта объясняет, почему люди покупают страховые полисы. Страхователь с вогнутой функцией полезности готов заплатить премию, превышающую математическое ожидание убытка, чтобы избежать риска. Абсолютный коэффициент \( A(x) \) используется для определения справедливой страховой премии.

Государственная политика и регулирование

Коэффициент используется при анализе социально-экономических решений, связанных с риском, например, при оценке проектов в условиях неопределённости (метод анализа «затраты-выгоды»). Государственные органы могут учитывать средний уровень неприятия риска в обществе при разработке правил финансового регулирования или пенсионных систем.

Экспериментальная экономика

В лабораторных экспериментах коэффициент Эрроу — Пратта позволяет классифицировать испытуемых по степени неприятия риска. Исследователи выявляют, что этот параметр может зависеть от возраста, пола, уровня образования и культурных особенностей.

Критика и ограничения

Несмотря на широкое признание, коэффициент Эрроу — Пратта имеет ряд ограничений:

• Предположение о рациональности: Модель основана на теории ожидаемой полезности, которая предполагает, что индивиды ведут себя рационально. Однако поведенческая экономика (например, теория перспектив Канемана и Тверски) показывает, что реальные люди часто нарушают эти постулаты, демонстрируя, например, неприятие потерь (loss aversion), которое не сводится к простой вогнутости функции полезности.
• Зависимость от контекста: Коэффициент может меняться в зависимости от контекста принятия решений (например, риск в финансовой сфере и риск в личной безопасности). Один и тот же человек может проявлять разную степень неприятия риска в разных ситуациях.
• Сложность эмпирической оценки: Точное измерение коэффициента на практике затруднено. Оценки, полученные на основе опросов или анализа рыночного поведения, часто дают широкий разброс значений. Кроме того, функция полезности индивида не наблюдаема напрямую.
• Игнорирование других аспектов риска: Коэффициент учитывает только второй момент распределения (дисперсию), но не учитывает асимметрию (skewness) или эксцесс (kurtosis) распределения доходностей. Инвесторы могут предпочитать активы с положительной асимметрией (редкие, но крупные выигрыши), что не отражается в коэффициенте.

Интересные факты

• В 2011 году исследователи из Университета Цюриха на основе нейровизуализации показали, что активность в определённых участках мозга (например, в островковой доле) коррелирует с индивидуальным коэффициентом неприятия риска, измеренным по Эрроу — Пратту.
• В некоторых моделях макроэкономики (например, в моделях реального делового цикла) используется коэффициент относительного неприятия риска, который часто принимается равным 2 или 3, что соответствует эмпирическим оценкам для среднего домохозяйства в развитых странах.
• Концепция неприятия риска, формализованная Эрроу и Праттом, лежит в основе премии за риск — дополнительной доходности, которую требуют инвесторы за владение рискованными активами по сравнению с безрисковыми.

Источники

• Arrow, K. J. (1965). Aspects of the Theory of Risk-Bearing. Yrjö Jahnsson Foundation.
• Pratt, J. W. (1964). Risk Aversion in the Small and in the Large. Econometrica, 32(1/2), 122–136.
• Mas-Colell, A., Whinston, M. D., & Green, J. R. (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press.
• Kahneman, D., & Tversky, A. (1979). Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk. Econometrica, 47(2), 263–291.
• Gollier, C. (2001). The Economics of Risk and Time. MIT Press.