Когомологии де Рама¶

Когомологии де Рама — это теория когомологий, основанная на дифференциальных формах на гладком многообразии. Она является мощным инструментом алгебраической топологии и дифференциальной геометрии, позволяющим изучать топологические свойства многообразия (такие как количество «дырок» разных размерностей) с помощью аналитических методов. Когомологии де Рама устанавливают изоморфизм между классами эквивалентности замкнутых дифференциальных форм и группами когомологий с вещественными коэффициентами, что является содержанием теоремы де Рама.

¶История

Теория была разработана швейцарским математиком Жоржем де Рамом (Georges de Rham) в 1931 году в его докторской диссертации. Он обобщил более ранние работы Анри Пуанкаре и Эли Картана, которые изучали связь между дифференциальными формами и топологическими инвариантами. Де Рам доказал, что интегралы замкнутых форм по циклам дают информацию о когомологиях, и что пространство таких интегралов изоморфно группе когомологий с вещественными коэффициентами. Впоследствии теория была развита в работах Андре Вейля, Хасслера Уитни и других математиков, став ключевым элементом современной дифференциальной топологии.

¶Определение

Пусть \(M\) — гладкое многообразие размерности \(n\). Обозначим через \(\Omega^k(M)\) пространство всех гладких дифференциальных \(k\)-форм на \(M\) (с вещественными коэффициентами). Внешний дифференциал \(d: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)\) — это линейный оператор, удовлетворяющий свойству \(d^2 = 0\). Это означает, что образ оператора \(d\) на \(\Omega^k(M)\) содержится в ядре оператора \(d\) на \(\Omega^{k+1}(M)\). Форма \(\omega\) называется замкнутой, если \(d\omega = 0\), и точной, если существует форма \(\eta\) такая, что \(\omega = d\eta\).

Когомологии де Рама определяются как факторпространство: \[ H^k_{\text{dR}}(M) = \frac{\text{Ker}(d: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M))}{\text{Im}(d: \Omega^{k-1}(M) \to \Omega^k(M))} \] для \(k = 0, 1, \dots, n\). Элементы \(H^k_{\text{dR}}(M)\) называются классами когомологий де Рама. Две замкнутые \(k\)-формы принадлежат одному классу, если их разность является точной формой.

¶Основные свойства

¶Векторное пространство

Каждая группа \(H^k_{\text{dR}}(M)\) является векторным пространством над полем вещественных чисел \(\mathbb{R}\). Размерность \(b_k(M) = \dim H^k_{\text{dR}}(M)\) называется числом Бетти многообразия \(M\) (для вещественных коэффициентов). Числа Бетти — топологические инварианты, не зависящие от выбора гладкой структуры.

¶Функториальность

Для гладкого отображения \(f: M \to N\) определено отображение обратного образа (pullback) \(f^: \Omega^k(N) \to \Omega^k(M)\), которое коммутирует с внешним дифференциалом: \(f^ \circ d = d \circ f^\). Это индуцирует линейное отображение на когомологиях: \[ f^: H^k_{\text{dR}}(N) \to H^k_{\text{dR}}(M). \] Таким образом, когомологии де Рама являются контравариантным функтором из категории гладких многообразий в категорию векторных пространств.

¶Точная последовательность Майера — Вьеториса

Для открытого покрытия многообразия \(M\) двумя открытыми множествами \(U\) и \(V\) существует длинная точная последовательность когомологий де Рама, связывающая когомологии \(M\), \(U\), \(V\) и \(U \cap V\). Это позволяет вычислять когомологии сложных многообразий, разбивая их на более простые части.

¶Теорема де Рама

Центральным результатом теории является теорема де Рама, утверждающая, что для любого гладкого многообразия \(M\) существует изоморфизм: \[ H^k_{\text{dR}}(M) \cong H^k(M; \mathbb{R}), \] где \(H^k(M; \mathbb{R})\) — сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами. Этот изоморфизм задаётся отображением, сопоставляющим классу замкнутой формы \([\omega]\) функционал, который интегрирует \(\omega\) по сингулярным циклам. Теорема де Рама показывает, что аналитическое понятие замкнутых форм эквивалентно топологическому понятию когомологий.

¶Примеры

¶Окружность \(S^1\)

Для окружности \(S^1\) имеем:

• \(H^0_{\text{dR}}(S^1) \cong \mathbb{R}\) (порождается константной функцией 1).
• \(H^1_{\text{dR}}(S^1) \cong \mathbb{R}\) (порождается формой \(d\theta\), где \(\theta\) — угловая координата; эта форма замкнута, но не точна, так как её интеграл по окружности равен \(2\pi \neq 0\)).
• \(H^k_{\text{dR}}(S^1) = 0\) для \(k \geq 2\).

¶Сфера \(S^2\)

Для двумерной сферы:

• \(H^0_{\text{dR}}(S^2) \cong \mathbb{R}\).
• \(H^1_{\text{dR}}(S^2) = 0\) (все замкнутые 1-формы точны).
• \(H^2_{\text{dR}}(S^2) \cong \mathbb{R}\) (порождается формой объёма, интеграл которой по сфере не равен нулю).
• \(H^k_{\text{dR}}(S^2) = 0\) для \(k \geq 3\).

¶Тор \(T^2 = S^1 \times S^1\)

Для тора:

• \(H^0_{\text{dR}}(T^2) \cong \mathbb{R}\).
• \(H^1_{\text{dR}}(T^2) \cong \mathbb{R}^2\) (порождается формами \(d\theta_1\) и \(d\theta_2\), соответствующими двум независимым циклам).
• \(H^2_{\text{dR}}(T^2) \cong \mathbb{R}\) (порождается формой объёма \(d\theta_1 \wedge d\theta_2\)).
• \(H^k_{\text{dR}}(T^2) = 0\) для \(k \geq 3\).

¶Применение в физике

Когомологии де Рама находят широкое применение в теоретической физике, особенно в теории калибровочных полей и общей теории относительности. Например, в электродинамике напряжённость электрического и магнитного полей описывается 2-формой (тензором электромагнитного поля) \(F\), которая удовлетворяет уравнению \(dF = 0\) (одно из уравнений Максвелла). Это означает, что \(F\) является замкнутой формой, и её класс когомологий определяет топологически нетривиальные конфигурации поля, такие как магнитные монополи. В квантовой теории поля когомологии де Рама используются для описания аномалий и топологических дефектов.

¶Связь с другими теориями

¶Когомологии Чеха

Когомологии де Рама связаны с когомологиями Чеха через изоморфизм, установленный с помощью теории пучков. В частности, для паракомпактных многообразий когомологии де Рама изоморфны когомологиям Чеха с коэффициентами в пучке гладких функций.

¶Когомологии с компактным носителем

Существует вариант когомологий де Рама с компактным носителем, обозначаемый \(H^k_c(M)\), который использует формы, обращающиеся в нуль вне компактного множества. Эти группы двойственны когомологиям де Рама в смысле двойственности Пуанкаре: \(H^k_c(M) \cong (H^{n-k}_{\text{dR}}(M))^*\).

¶Двойственность Пуанкаре

Когомологии де Рама удовлетворяют двойственности Пуанкаре: для ориентируемого замкнутого многообразия \(M\) размерности \(n\) существует невырожденное спаривание: \[ H^k_{\text{dR}}(M) \otimes H^{n-k}_{\text{dR}}(M) \to \mathbb{R}, \] задаваемое интегрированием внешнего произведения форм по \(M\).

¶Литература

• Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Наука, 1989.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.
• Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. — М.: Мир, 1987.
• Иванов А. О. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: МЦНМО, 2015.