Когомологии

Когомологии — это общее название для серии функторов в гомологической алгебре и топологии, которые сопоставляют топологическому пространству, цепному комплексу или другому алгебраическому объекту градуированную абелеву группу (или модуль), являющуюся ковариантным инвариантом. В отличие от гомологий, которые являются контравариантным функтором, когомологии обладают дополнительной структурой — умножением (чашка-произведение), превращающим их в градуированное кольцо. Когомологии широко используются в алгебраической топологии, алгебраической геометрии, теории чисел и математической физике.

Определение

Формально, когомологии определяются как когомологии коцепного комплекса. Пусть \( C^* \) — коцепной комплекс, то есть последовательность абелевых групп (или модулей) \( C^0, C^1, C^2, \dots \) и гомоморфизмов \( d^n: C^n \to C^{n+1} \), таких что \( d^{n+1} \circ d^n = 0 \) для всех \( n \). Элементы \( C^n \) называются коцепями степени \( n \), а отображения \( d^n \) — кограничными операторами (или дифференциалами). Условие \( d^{n+1} \circ d^n = 0 \) означает, что образ \( d^n \) содержится в ядре \( d^{n+1} \).

Элементы из ядра \( \ker d^n \) называются коциклами (или замкнутыми коцепями), а элементы из образа \( \operatorname{im} d^{n-1} \) — кограницами (или точными коцепями). Поскольку \( d^n \circ d^{n-1} = 0 \), каждая кограница является коциклом. Тогда n-я группа когомологий \( H^n(C^*) \) определяется как факторгруппа:

\[ H^n(C^*) = \ker d^n / \operatorname{im} d^{n-1}. \]

Элементы \( H^n(C^*) \) называются когомологическими классами степени \( n \). Два коцикла, различающиеся на кограницу, называются когомологичными и представляют один и тот же класс.

История

Понятие когомологий возникло в первой половине XX века как естественное обобщение и двойственное понятие к гомологиям. В 1930-х годах Джеймс Александер и Андрей Колмогоров независимо друг от друга предложили определение когомологий с помощью коцепей, построенных из функций на симплексах. В 1935 году Хасслер Уитни и Эдуард Чех разработали теорию когомологий Чеха, основанную на покрытиях пространства. В 1940-х годах Сэмюэль Эйленберг и Норман Стинрод аксиоматизировали теорию когомологий, сформулировав аксиомы Эйленберга — Стинрода. В 1945 году Эйленберг и Стинрод также ввели понятие когомологий с коэффициентами в произвольной абелевой группе. Развитие теории пучков в 1950-х годах привело к созданию когомологий пучков, которые стали основным инструментом в алгебраической геометрии.

Виды когомологий

Существует множество различных теорий когомологий, различающихся способом построения коцепного комплекса и областью определения.

Сингулярные когомологии

Сингулярные когомологии — наиболее фундаментальная и широко используемая теория для топологических пространств. Они строятся на основе сингулярных цепей, которые являются формальными суммами непрерывных отображений стандартного симплекса в пространство. Коцепи определяются как гомоморфизмы из групп сингулярных цепей в абелеву группу коэффициентов. Сингулярные когомологии удовлетворяют аксиомам Эйленберга — Стинрода и являются гомотопическим инвариантом.

Когомологии де Рама

Когомологии де Рама — это теория когомологий для гладких многообразий, основанная на дифференциальных формах. Коцепями являются дифференциальные формы, а кограничный оператор — внешняя производная. Когомологии де Рама изоморфны сингулярным когомологиям с вещественными коэффициентами (теорема де Рама). Эта теория играет ключевую роль в дифференциальной геометрии и топологии.

Когомологии Чеха

Когомологии Чеха строятся на основе открытых покрытий топологического пространства. Коцепями являются функции, заданные на пересечениях элементов покрытия, со значениями в абелевой группе. Для паракомпактных пространств когомологии Чеха изоморфны сингулярным когомологиям. Эта теория удобна для вычислений и используется в теории пучков.

Когомологии пучков

Когомологии пучков — это обобщение, в котором коэффициенты являются пучками абелевых групп на пространстве. Они определяются как производные функторы функтора глобальных сечений. Когомологии пучков являются основным инструментом алгебраической геометрии, позволяя изучать глобальные свойства локальных данных. Частным случаем являются когомологии этальных пучков, используемые в этальной когомологии.

Групповые когомологии

Групповые когомологии — это теория когомологий для групп. Коцепями являются функции от нескольких аргументов на группе со значениями в модуле, а кограничный оператор задаётся специальной формулой. Групповые когомологии классифицируют расширения групп и играют важную роль в теории представлений и алгебраической теории чисел.

Другие виды

Существуют также когомологии Хохшильда (для алгебр), когомологии Харрисона (для коммутативных алгебр), когомологии Галуа (для полей), когомологии Ходжа (для комплексных многообразий) и многие другие.

Свойства

Когомологии обладают рядом фундаментальных свойств, которые делают их мощным инструментом.

Функториальность

Когомологии являются контравариантным функтором: непрерывному отображению \( f: X \to Y \) топологических пространств соответствует гомоморфизм \( f^*: H^n(Y) \to H^n(X) \). Это свойство позволяет изучать отображения пространств на алгебраическом уровне.

Гомотопическая инвариантность

Если два отображения гомотопны, то индуцированные гомоморфизмы когомологий совпадают. Следовательно, когомологии гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Точная последовательность пары

Для пары пространств \( (X, A) \) (где \( A \subset X \)) существует длинная точная последовательность когомологий, связывающая когомологии \( X \), \( A \) и \( X/A \). Эта последовательность является основным вычислительным инструментом.

Чашка-произведение

На когомологиях топологического пространства определено билинейное ассоциативное умножение — чашка-произведение (cup-product). Оно превращает прямую сумму всех групп когомологий \( H^*(X) = \bigoplus_{n} H^n(X) \) в градуированное коммутативное кольцо (в смысле градуированной коммутативности: \( \alpha \smile \beta = (-1)^{pq} \beta \smile \alpha \) для \( \alpha \in H^p, \beta \in H^q \)). Чашка-произведение является мощным инвариантом, позволяющим различать пространства с одинаковыми группами когомологий.

Когомологии с коэффициентами

Когомологии могут быть определены с коэффициентами в любой абелевой группе \( G \). Обозначение: \( H^n(X; G) \). Наиболее часто используются коэффициенты в \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{Z}_2 \), \( \mathbb{Q} \), \( \mathbb{R} \). Выбор коэффициентов влияет на тонкую структуру когомологий, в частности, на наличие кручения.

Применение

Когомологии являются одним из центральных понятий современной математики с многочисленными приложениями.

Алгебраическая топология

Когомологии используются для классификации топологических пространств. Кольцо когомологий является более тонким инвариантом, чем гомологии, и позволяет, например, различать сферы разных размерностей, проективные пространства и многообразия. Когомологии также лежат в основе теории препятствий и теории характеристических классов.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии когомологии пучков (в частности, когомологии этальных пучков) используются для изучения алгебраических многообразий над произвольными полями. Этальные когомологии, введённые Александром Гротендиком, позволили доказать гипотезы Вейля о дзета-функциях алгебраических многообразий. Когомологии Ходжа дают информацию о комплексной структуре многообразий.

Теория чисел

В теории чисел когомологии Галуа используются для изучения расширений полей и свойств абсолютной группы Галуа. Когомологии Галуа играют центральную роль в теории полей классов и в программе Ленглендса.

Математическая физика

В математической физике когомологии возникают в теории калибровочных полей, где они классифицируют топологически нетривиальные конфигурации полей (инстантоны, монополи). Когомологии де Рама используются в формулировке электродинамики и общей теории относительности на языке дифференциальных форм. В теории струн когомологии БРСТ (Бекки — Роуэ — Сторы — Тютина) используются для квантования калибровочных теорий.

Вычисление

Вычисление когомологий является важной задачей. Для этого используются различные методы.

Клеточные когомологии

Для клеточных комплексов (CW-комплексов) когомологии могут быть вычислены с помощью клеточного коцепного комплекса, который строится на основе клеточной структуры пространства. Это один из наиболее эффективных методов для конкретных пространств.

Спектральные последовательности

Спектральные последовательности — мощный алгебраический инструмент для вычисления когомологий сложных объектов, таких как расслоения и произведения пространств. Наиболее известны спектральная последовательность Серра для расслоений и спектральная последовательность Лере для пучков.

Теорема де Рама

Теорема де Рама утверждает, что для гладкого многообразия когомологии де Рама изоморфны сингулярным когомологиям с вещественными коэффициентами. Это позволяет вычислять когомологии, используя дифференциальные формы, что часто проще, чем топологические методы.

Связь с гомологиями

Когомологии и гомологии тесно связаны. Для конечного CW-комплекса группы когомологий с целыми коэффициентами являются прямым произведением свободной части и кручения, двойственного кручению гомологий. В частности, по теореме об универсальных коэффициентах, \( H^n(X; G) \cong \operatorname{Hom}(H_n(X; \mathbb{Z}), G) \oplus \operatorname{Ext}(H_{n-1}(X; \mathbb{Z}), G) \). Чашка-произведение в когомологиях двойственно пересечению циклов в гомологиях.

Источники

• Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
• Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.
• Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Наука, 1989.
• Вейль А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.