Константа Мертенса¶

Константа Мертенса — математическая постоянная, используемая в аналитической теории чисел, определяемая как предельное значение суммы ряда обратных величин простых чисел с весовым коэффициентом, связанным с функцией Мёбиуса. Численно она приблизительно равна 0,2614972128.

¶Определение

Константа Мертенса M определяется как предел:

\[ M = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{p \le n} \frac{1}{p} - \ln \ln n \right) \]

где суммирование ведётся по всем простым числам p, не превосходящим n, а ln обозначает натуральный логарифм. Эквивалентное определение использует постоянную Эйлера — Маскерони γ и постоянную, связанную с дзета-функцией Римана:

\[ M = \gamma + \sum_{p} \left( \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right) + \frac{1}{p} \right) \]

где сумма берётся по всем простым числам. Оба определения сходятся, и их значение совпадает.

¶История

Константа названа в честь немецкого математика Франца Мертенса, который исследовал её в 1874 году в связи с работами по распределению простых чисел. Мертенс изучал поведение суммы \(\sum_{p \le x} 1/p\) и установил, что разность между этой суммой и величиной \(\ln \ln x\) стремится к конечному пределу. Это утверждение стало известно как вторая теорема Мертенса.

До работ Мертенса аналогичный результат был независимо получен Леонардом Эйлером в XVIII веке, однако Эйлер не придал постоянной отдельного обозначения. В современной литературе константа иногда обозначается как B₁, следуя системе обозначений, введённой Эдмундом Ландау для постоянных, связанных с простыми числами.

¶Свойства и связь с другими величинами

Константа Мертенса тесно связана с дзета-функцией Римана ζ(s). В частности, она выражается через производную дзета-функции в точке s = 1:

\[ M = \gamma + \zeta'(1) \]

Однако ζ(s) имеет полюс в точке s = 1, поэтому производная понимается в смысле регуляризации. Более строго, константа возникает при разложении логарифмической производной дзета-функции.

Известно также, что константа Мертенса не является рациональным числом, однако вопрос о её трансцендентности (как и для постоянной Эйлера — Маскерони) остаётся открытым. Не доказано даже, является ли она иррациональной.

¶Численное значение

Константа Мертенса имеет следующее десятичное разложение (первые 30 знаков):

0,261497212847642783755426838608...

Точность вычислений ограничена скоростью сходимости ряда. Для практических вычислений используются ускоренные методы, основанные на разложении по нулям дзета-функции Римана или на формуле Эйлера — Маклорена.

¶Применение

Константа Мертенса встречается в различных задачах теории чисел:

• Теорема Мертенса (вторая) используется при оценке распределения простых чисел и в доказательствах, связанных с функцией Мёбиуса.
• Функция Мертенса M(x) = Σ μ(k) (сумма функции Мёбиуса) связана с гипотезой Римана; константа Мертенса не участвует в её определении напрямую, но появляется в асимптотических оценках.
• Произведение по простым числам: константа возникает при вычислении плотности множеств целых чисел, свободных от квадратов, и в вероятностных моделях распределения простых чисел.
• В криптографии и алгоритмической теории чисел константа используется в оценках сложности некоторых алгоритмов факторизации.

¶Обобщения

Существуют обобщения константы Мертенса для арифметических прогрессий. Для фиксированного класса вычетов a mod q определяется аналог:

\[ M(q, a) = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{\substack{p \le x \\ p \equiv a \pmod q}} \frac{1}{p} - \frac{1}{\varphi(q)} \ln \ln x \right) \]

где φ — функция Эйлера. Эти постоянные также конечны и используются в аналитической теории чисел при изучении распределения простых чисел в прогрессиях.

¶Источники

• Мертенс Ф. «О распределении простых чисел» (1874).
• Ландау Э. «Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen» (1909).
• Харди Г. Х., Райт Э. М. «Введение в теорию чисел» (глава о простых числах).
• OEIS A077761 (десятичное разложение константы).