Координаты Якоби

Координаты Якоби — это система координат, используемая в механике и теории многих тел для упрощения описания движения систем, состоящих из трёх и более частиц. В отличие от стандартных декартовых координат, где положение каждой частицы задаётся относительно неподвижного начала отсчёта, координаты Якоби определяют положение частиц относительно друг друга и центра масс системы. Это позволяет разделить движение системы на две независимые части: движение центра масс (поступательное движение всей системы как целого) и внутреннее (относительное) движение частиц. Названы в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби.

Определение и принцип построения

Координаты Якоби для системы из \( N \) частиц с массами \( m_1, m_2, \dots, m_N \) и радиус-векторами \( \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_N \) вводятся рекуррентно. Идея заключается в том, чтобы последовательно выделять пары частиц или подсистем и задавать относительные векторы между ними.

Общий алгоритм построения:

1. Первая координата Якоби (\( \boldsymbol{\rho}_1 \)) — это вектор, соединяющий центры масс двух первых частиц (или двух первых подсистем). Обычно его определяют как разность радиус-векторов этих частиц:

\[ \boldsymbol{\rho}_1 = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \]

1. Вторая координата Якоби (\( \boldsymbol{\rho}_2 \)) — это вектор, соединяющий центр масс системы из первых двух частиц с третьей частицей:

\[ \boldsymbol{\rho}_2 = \mathbf{r}_3 - \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \]

1. Третья координата Якоби (\( \boldsymbol{\rho}_3 \)) — это вектор, соединяющий центр масс системы из первых трёх частиц с четвёртой частицей, и так далее.
2. Последняя координата (\( \boldsymbol{\rho}_N \)) обычно определяется как радиус-вектор центра масс всей системы:

\[ \boldsymbol{\rho}_N = \frac{\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^N m_i} \]

Таким образом, получается \( N \) новых векторов: \( N-1 \) относительных координат и одна координата центра масс. Эти координаты линейно независимы и образуют полный набор обобщённых координат для системы.

Свойства и преимущества

Разделение движения

Главное преимущество координат Якоби заключается в том, что в них кинетическая энергия системы принимает диагональный вид, то есть не содержит перекрёстных членов (произведений скоростей разных частиц). Это означает, что движение центра масс и относительное движение частиц становятся динамически независимыми.

Кинетическая энергия в координатах Якоби записывается как: \[ T = \frac{1}{2} M \dot{\boldsymbol{\rho}}_N^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1} \mu_i \dot{\boldsymbol{\rho}}_i^2 \] где \( M \) — полная масса системы, а \( \mu_i \) — приведённые массы, соответствующие каждой относительной координате. Такая форма существенно упрощает составление уравнений Лагранжа и Гамильтона.

Упрощение задачи двух тел

Для системы из двух частиц (\( N=2 \)) координаты Якоби сводятся к двум векторам: вектор относительного положения \( \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \) и вектор центра масс \( \mathbf{R} \). Это стандартный приём для решения задачи двух тел, где движение центра масс является равномерным и прямолинейным, а относительное движение эквивалентно движению одной частицы с приведённой массой в центральном поле.

Применение в квантовой механике

В квантовой механике координаты Якоби широко используются при решении задач о движении нескольких частиц, в частности, в квантовой химии и физике атомного ядра. Они позволяют разделить волновую функцию на произведение волновой функции центра масс (описывающей свободное движение системы) и волновой функции внутреннего движения. Это особенно важно для задач рассеяния и связанных состояний, где внутренняя структура системы исследуется независимо от её поступательного движения.

Пример для трёх частиц

Рассмотрим систему из трёх частиц с массами \( m_1, m_2, m_3 \) и радиус-векторами \( \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3 \). Координаты Якоби для неё можно выбрать, например, следующим образом:

1. Первая координата — относительное положение частиц 1 и 2:

\[ \boldsymbol{\rho}_1 = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \] Соответствующая приведённая масса: \( \mu_1 = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \).

1. Вторая координата — положение частицы 3 относительно центра масс системы (1+2):

\[ \boldsymbol{\rho}_2 = \mathbf{r}_3 - \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \] Соответствующая приведённая масса: \( \mu_2 = \frac{(m_1 + m_2) m_3}{m_1 + m_2 + m_3} \).

1. Третья координата — центр масс всей системы:

\[ \boldsymbol{\rho}_3 = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 + m_3 \mathbf{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3} \] Полная масса: \( M = m_1 + m_2 + m_3 \).

В этом базисе кинетическая энергия запишется как: \[ T = \frac{1}{2} M \dot{\boldsymbol{\rho}}_3^2 + \frac{1}{2} \mu_1 \dot{\boldsymbol{\rho}}_1^2 + \frac{1}{2} \mu_2 \dot{\boldsymbol{\rho}}_2^2 \]

Связь с другими системами координат

Координаты Якоби являются частным случаем более общего класса систем координат, называемых внутренними координатами. Они отличаются от координат центра масс и относительных координат, используемых, например, в задаче трёх тел, тем, что последовательно учитывают иерархию подсистем. Существует несколько способов выбора последовательности частиц при построении координат Якоби (разные порядки «сборки» системы), что приводит к разным наборам относительных векторов, но все они эквивалентны и связаны линейными преобразованиями.

Применение

• Небесная механика: Описание движения планет, спутников и других небесных тел, где необходимо учитывать гравитационное взаимодействие между несколькими объектами.
• Физика атомного ядра: Моделирование структуры ядер, особенно лёгких (например, дейтрон, тритон, альфа-частица), где нуклоны рассматриваются как точечные частицы, взаимодействующие через ядерные силы.
• Квантовая химия: Расчёт электронной структуры молекул (например, молекулы водорода H₂ или иона H₃⁺), где движение электронов и ядер разделяется с помощью координат Якоби.
• Молекулярная динамика: Изучение колебательных и вращательных спектров многоатомных молекул.

Источники

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том I. Механика. — М.: Физматлит, 2004.
2. Гольдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975.
3. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Том 2. — М.: Мир, 1974.
4. Якоби К. Г. Я. Лекции по динамике. — М.: ОНТИ, 1936.