Критерий Гурвица

Критерий Гурвица — это математический критерий, используемый в теории принятия решений в условиях неопределённости для выбора оптимальной стратегии. Он представляет собой компромиссный подход между крайне оптимистичным и крайне пессимистичным взглядами на возможные исходы, позволяя лицу, принимающему решение, задать степень своего оптимизма с помощью специального коэффициента. Критерий был предложен американским математиком и экономистом Леонидом Гурвицем (Леонид Гурвич) в 1950 году.

История возникновения

Критерий Гурвица был разработан в рамках теории статистических решений, которая активно развивалась в середине XX века. Леонид Гурвиц, лауреат Нобелевской премии по экономике 2007 года за вклад в теорию механизмов распределения ресурсов, предложил этот критерий как альтернативу двум крайним подходам: критерию Вальда (максимин, ориентированный на наихудший исход) и критерию «максимакса» (ориентированный на наилучший исход). Работа Гурвица была направлена на создание более гибкого инструмента, который бы учитывал индивидуальное отношение субъекта к риску.

Формальное определение

Пусть имеется множество возможных решений (стратегий) \( A = \{a_1, a_2, \dots, a_m\} \) и множество возможных состояний природы (внешней среды) \( S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\} \). Для каждой пары (решение \( a_i \), состояние \( s_j \)) известен выигрыш \( x_{ij} \) (или полезность). Критерий Гурвица для выбора оптимальной стратегии \( a^* \) записывается следующим образом:

\[ a^* = \arg \max_{i} \left[ \lambda \cdot \max_{j} x_{ij} + (1 - \lambda) \cdot \min_{j} x_{ij} \right] \]

где:

• \( \lambda \) — коэффициент оптимизма (показатель пессимизма-оптимизма), принимающий значения от 0 до 1;
• \( \max_{j} x_{ij} \) — максимально возможный выигрыш при выборе стратегии \( a_i \);
• \( \min_{j} x_{ij} \) — минимально возможный выигрыш при выборе стратегии \( a_i \).

Таким образом, для каждой стратегии вычисляется взвешенная сумма её наилучшего и наихудшего результатов. Выбирается та стратегия, для которой эта сумма максимальна.

Коэффициент оптимизма \( \lambda \)

Коэффициент \( \lambda \) отражает степень оптимизма лица, принимающего решение:

• При \( \lambda = 1 \) критерий Гурвица превращается в критерий «максимакса» (полный оптимизм, ориентация только на лучший исход).
• При \( \lambda = 0 \) критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (максимин, полный пессимизм, ориентация только на худший исход).
• При \( 0 < \lambda < 1 \) критерий представляет собой компромисс. Чем ближе \( \lambda \) к 1, тем более оптимистичным считается решение; чем ближе к 0, тем более пессимистичным.

Выбор конкретного значения \( \lambda \) является субъективным и зависит от склонности к риску, доступной информации и контекста задачи. В некоторых источниках используется обратная интерпретация, где \( \lambda \) — коэффициент пессимизма, и формула принимает вид \( \lambda \cdot \min + (1-\lambda) \cdot \max \).

Применение

Критерий Гурвица применяется в различных областях, где решения принимаются в условиях неопределённости, когда вероятности наступления тех или иных состояний природы неизвестны.

Экономика и управление

В экономике критерий используется для выбора инвестиционных проектов, стратегий ценообразования, управления запасами и планирования производства. Например, компания, выбирающая между несколькими проектами с разными уровнями риска, может использовать критерий Гурвица, чтобы сбалансировать потенциальную прибыль и возможные убытки.

Теория игр

В теории игр критерий Гурвица применяется для анализа стратегий в играх с природой (играх против неопределённой среды), где игрок не знает действий противника, а сталкивается с объективными, но неизвестными условиями.

Техника и инженерия

В инженерных задачах, таких как проектирование систем с неопределёнными параметрами (например, надёжность оборудования, погодные условия), критерий помогает выбрать конструкцию, которая будет достаточно эффективна в лучшем случае и не провалится в худшем.

Логистика и транспорт

При планировании маршрутов, распределении ресурсов или выборе поставщиков в условиях нестабильного спроса или цен, критерий Гурвица позволяет найти компромиссное решение.

Пример расчёта

Рассмотрим задачу выбора стратегии для трёх возможных решений (A, B, C) и трёх состояний природы (S1, S2, S3). Матрица выигрышей:

Пусть коэффициент оптимизма \( \lambda = 0,6 \). Расчёт для каждой стратегии:

• A: \( \max = 30 \), \( \min = 10 \). Взвешенная сумма: \( 0,6 \times 30 + 0,4 \times 10 = 18 + 4 = 22 \).
• B: \( \max = 25 \), \( \min = 15 \). Взвешенная сумма: \( 0,6 \times 25 + 0,4 \times 15 = 15 + 6 = 21 \).
• C: \( \max = 35 \), \( \min = 5 \). Взвешенная сумма: \( 0,6 \times 35 + 0,4 \times 5 = 21 + 2 = 23 \).

Максимальная взвешенная сумма равна 23, что соответствует стратегии C. Таким образом, при \( \lambda = 0,6 \) оптимальным решением является стратегия C.

Критика и ограничения

Критерий Гурвица, несмотря на свою гибкость, имеет ряд недостатков:

• Субъективность коэффициента. Выбор \( \lambda \) не имеет объективного обоснования и полностью зависит от лица, принимающего решение. Разные значения могут приводить к разным оптимальным стратегиям.
• Игнорирование промежуточных исходов. Критерий учитывает только два крайних значения (максимум и минимум) для каждой стратегии, полностью игнорируя все остальные возможные исходы. Это может привести к потере важной информации.
• Неприменимость к вероятностным задачам. Критерий не использует вероятности состояний природы, что делает его менее точным по сравнению с методами, основанными на математическом ожидании (например, критерий Байеса), если вероятности известны.
• Парадокс Гурвица. В некоторых случаях критерий может рекомендовать стратегию, которая является доминируемой (то есть заведомо хуже другой по всем исходам), если разница между максимумом и минимумом велика, а коэффициент оптимизма выбран определённым образом.

Связь с другими критериями

Критерий Гурвица является частью семейства критериев принятия решений в условиях неопределённости, куда также входят:

• Критерий Вальда (максимин) — крайний пессимизм.
• Критерий «максимакса» — крайний оптимизм.
• Критерий Сэвиджа (минимаксного сожаления) — минимизация максимального сожаления от неверного выбора.
• Критерий Лапласа (принцип недостаточного основания) — все состояния природы считаются равновероятными.

Каждый из этих критериев имеет свои достоинства и недостатки, и выбор конкретного критерия зависит от целей и условий задачи.

Интересные факты

• Леонид Гурвиц, разработавший критерий, был одним из пионеров теории механизмов распределения ресурсов и получил Нобелевскую премию по экономике в 2007 году совместно с Эриком Маскиным и Роджером Майерсоном.
• В некоторых русскоязычных источниках критерий Гурвица также называют «критерием пессимизма-оптимизма» или «критерием обобщённого максимина».
• Критерий может быть обобщён на случай, когда учитываются не только крайние, но и несколько лучших и худших исходов (например, взвешенная сумма нескольких максимумов и минимумов).

Источники

• Гурвиц, Л. (1950). The Theory of Statistical Decision. Cowles Commission Discussion Paper.
• Кини, Р. Л., Райфа, Х. (1976). Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Мир.
• Орлов, А. И. (2004). Теория принятия решений. Экзамен.
• Черчмен, У., Акофф, Р., Арнофф, Л. (1968). Введение в исследование операций. Наука.