Критерий Келли

Критерий Келли (формула Келли, ставка Келли) — это математическая формула, используемая для определения оптимального размера ставки в азартных играх, инвестициях и других ситуациях с неопределённым исходом, где известны вероятности выигрыша и проигрыша. Критерий максимизирует долгосрочный темп роста капитала, минимизируя при этом риск полного разорения. Разработан американским учёным Джоном Ларри Келли-младшим в 1956 году.

История

Критерий был предложен Джоном Ларри Келли-младшим (1923–1965), сотрудником Bell Labs, в статье «A New Interpretation of Information Rate», опубликованной в 1956 году в журнале IRE Transactions on Information Theory. Первоначально Келли исследовал задачу передачи информации по зашумлённым каналам связи, используя теорию игр и азартных ставок как метафору. Он показал, что оптимальная стратегия для максимизации долгосрочной скорости роста капитала при повторяющихся ставках с известными вероятностями заключается в ставке доли капитала, пропорциональной математическому ожиданию выигрыша.

В 1960-х годах идеи Келли были популяризированы в мире азартных игр, особенно в скачках и ставках на спорт. Позднее, в 1970-1980-х годах, критерий нашёл применение в финансовой сфере, в частности, в управлении инвестиционными портфелями и определении оптимального размера позиции.

Математическая формулировка

Критерий Келли для простой ставки с двумя исходами (выигрыш или проигрыш) формулируется следующим образом:

\[ f^* = \frac{bp - q}{b} = \frac{p(b+1) - 1}{b} \]

где:

• \( f^* \) — оптимальная доля текущего капитала, которую следует поставить;
• \( b \) — коэффициент выигрыша (чистая прибыль на единицу ставки, например, при коэффициенте 2:1 \( b = 2 \));
• \( p \) — вероятность выигрыша;
• \( q \) — вероятность проигрыша (\( q = 1 - p \)).

Если \( f^* \) оказывается отрицательным, ставка невыгодна (ожидаемый доход отрицателен), и критерий рекомендует не делать её.

Пример

Допустим, в игре с монетой вероятность выигрыша \( p = 0.6 \), а коэффициент выигрыша \( b = 1 \) (ставка возвращается с прибылью 1:1). Тогда: \[ f^* = \frac{1 \cdot 0.6 - 0.4}{1} = 0.2 \] Критерий рекомендует ставить 20% текущего капитала на каждый бросок.

Применение в азартных играх

В азартных играх, таких как ставки на спорт, покер, блэкджек или рулетка, критерий Келли используется для определения размера ставки, которая максимизирует долгосрочный рост банкролла. Для этого необходимо точно оценить вероятности исходов и коэффициенты, предлагаемые букмекером.

Полный и дробный критерий

• Полный критерий Келли — ставка в точности равна \( f^* \). Этот вариант максимизирует темп роста, но может приводить к значительным колебаниям капитала.
• Дробный критерий Келли — ставка составляет часть от \( f^ \), например, половину (\( f^ / 2 \)) или четверть (\( f^* / 4 \)). Это снижает волатильность и риск, но уменьшает потенциальный рост.

Риски

Применение полного критерия Келли требует высокой точности оценки вероятностей. Ошибка в оценке может привести к переоценке \( f^* \) и, как следствие, к значительным потерям. Кроме того, в играх с отрицательным математическим ожиданием (например, в рулетке) критерий рекомендует не делать ставок вовсе.

Применение в инвестициях

В финансовой сфере критерий Келли используется для оптимизации размера позиции в портфеле. В отличие от азартных игр, где исходы дискретны, в инвестициях доходность обычно непрерывна. Для этого применяется обобщённая формула Келли, учитывающая распределение доходностей.

Формула для инвестиций

Для непрерывного распределения доходностей оптимальная доля капитала \( f^* \) может быть найдена как:

\[ f^* = \frac{\mu - r}{\sigma^2} \]

где:

• \( \mu \) — ожидаемая доходность актива;
• \( r \) — безрисковая ставка;
• \( \sigma^2 \) — дисперсия доходности (квадрат стандартного отклонения).

Эта формула является частным случаем критерия Келли для нормально распределённых доходностей и соответствует максимизации логарифма богатства.

Практическое применение

В инвестировании критерий Келли используется для определения размера позиции в акциях, облигациях, опционах и других инструментах. Однако на практике инвесторы часто используют дробный критерий из-за неопределённости в оценках параметров и риска «разорения» при больших колебаниях рынка.

Критика и ограничения

Критерий Келли имеет ряд ограничений и подвергается критике по нескольким причинам:

• Точность оценок: Для применения критерия необходимо точно знать вероятности исходов, что на практике часто невозможно. Ошибки в оценках могут привести к неоптимальным или даже убыточным ставкам.
• Волатильность: Полный критерий Келли может приводить к значительным колебаниям капитала, что психологически трудно переносимо для многих инвесторов и игроков.
• Неприменимость к единичным событиям: Критерий оптимизирует долгосрочный рост, но не учитывает краткосрочные риски. Для разовых ставок или инвестиций с коротким горизонтом он может быть неоптимален.
• Предположение о бесконечном времени: Формула предполагает, что игра или инвестирование продолжаются бесконечно долго, что нереалистично.
• Игнорирование налогов и транзакционных издержек: В реальных условиях налоги и комиссии могут существенно влиять на оптимальный размер ставки.

Известные сторонники и практики

Критерий Келли активно использовался известными инвесторами и трейдерами. В частности, Уоррен Баффет и Чарли Мангер упоминали его как часть своей философии управления капиталом. Известный математик и игрок в блэкджек Эдвард Торп применял критерий для оптимизации ставок в казино. В мире ставок на спорт критерий популяризировал британский математик Уильям Болл.

Интересные факты

• Критерий Келли часто называют «формулой роста» или «золотым правилом ставок».
• В некоторых источниках критерий Келли упоминается как «критерий Келли-младшего» для отличия от других математиков с фамилией Келли.
• В 1960-х годах Эдвард Торп использовал критерий Келли для управления капиталом в своём знаменитом эксперименте с блэкджеком, описанном в книге «Beat the Dealer».

Источники

• Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. IRE Transactions on Information Theory, 2(3), 185–189.
• Thorp, E. O. (1962). Beat the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One. Random House.
• Poundstone, W. (2005). Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street. Hill and Wang.
• MacLean, L. C., Thorp, E. O., & Ziemba, W. T. (2011). The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice. World Scientific.