Критерий Макнемара

Критерий Макнемара — это непараметрический статистический критерий, применяемый для анализа парных (связанных) выборок, когда данные представлены в виде дихотомической (бинарной) шкалы (например, «да/нет», «успех/неудача», «норма/патология»). Критерий позволяет оценить значимость изменений в состоянии одного и того же объекта до и после воздействия, а также сравнить два метода диагностики или лечения на одних и тех же испытуемых. Он основан на анализе таблицы сопряжённости 2×2, в которой учитываются только пары, где результаты различаются.

История и происхождение

Критерий был предложен американским психологом и статистиком Квентином Макнемарой (Quinn McNemar) в 1947 году. Макнемара, работавший в Стэнфордском университете, специализировался на психометрике и статистических методах в психологии. В своей работе «Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages» (1947) он описал статистику для проверки гипотезы об отсутствии различий в пропорциях для связанных бинарных данных. Критерий быстро вошёл в практику медицины, психологии, социологии и других областей, где требуется анализ изменений в парных наблюдениях.

Математическая основа

Постановка задачи

Пусть имеется выборка из \( n \) пар наблюдений, каждое из которых принимает одно из двух значений: 0 или 1. Данные можно представить в виде таблицы сопряжённости 2×2:

Здесь:

• \( a \) — количество пар, где результат был 1 и до, и после (совпадение);
• \( b \) — количество пар, где результат изменился с 1 на 0 (ухудшение);
• \( c \) — количество пар, где результат изменился с 0 на 1 (улучшение);
• \( d \) — количество пар, где результат был 0 и до, и после (совпадение).

Критерий Макнемара учитывает только несовпадающие пары (\( b \) и \( c \)), так как совпадающие пары (\( a \) и \( d \)) не несут информации об изменении.

Нулевая гипотеза

Нулевая гипотеза (\( H_0 \)) утверждает, что вероятность изменения в одну сторону равна вероятности изменения в другую сторону, то есть \( P(1 \to 0) = P(0 \to 1) \). Иными словами, \( b \) и \( c \) распределены биномиально с параметром \( p = 0.5 \) при условии, что общее количество несовпадающих пар \( N = b + c \) фиксировано.

Статистика критерия

Статистика критерия Макнемара вычисляется по формуле:

\[ \chi^2 = \frac{(b - c)^2}{b + c} \]

При условии, что \( b + c \geq 10 \), эта статистика аппроксимируется распределением хи-квадрат с одной степенью свободы (\( \chi^2_1 \)).

Если \( b + c < 10 \), рекомендуется использовать точный биномиальный тест (критерий знаков), так как аппроксимация хи-квадрат становится ненадёжной.

Поправка на непрерывность

Для улучшения аппроксимации в малых выборках часто применяют поправку Йетса (поправку на непрерывность):

\[ \chi^2_{\text{corr}} = \frac{(|b - c| - 1)^2}{b + c} \]

Эта поправка уменьшает значение статистики и делает критерий более консервативным.

Критическое значение

Полученное значение \( \chi^2 \) сравнивается с критическим значением распределения хи-квадрат с 1 степенью свободы при заданном уровне значимости \( \alpha \) (обычно 0.05). Если \( \chi^2 > \chi^2_{1, \alpha} \), нулевая гипотеза отвергается, и делается вывод о статистически значимом изменении.

Условия применения

Критерий Макнемара имеет следующие ограничения и требования:

1. Данные — парные (связанные): каждое наблюдение в первой выборке должно быть сопоставлено с конкретным наблюдением во второй выборке (например, один и тот же пациент до и после лечения).
2. Бинарный отклик: переменная должна принимать только два значения (0 и 1, да/нет, успех/неудача).
3. Независимость пар: пары наблюдений должны быть независимы друг от друга.
4. Достаточный объём несовпадающих пар: для применения аппроксимации хи-квадрат желательно, чтобы \( b + c \geq 10 \). При меньшем объёме следует использовать точный биномиальный тест.

Пример использования

Медицинское исследование

Предположим, что 100 пациентов проходят курс лечения от хронического заболевания. До лечения у 60 пациентов наблюдался симптом (кодируется как 1), у 40 — нет (0). После лечения у 50 пациентов симптом исчез, у 30 — появился впервые. Данные представлены в таблице:

Несовпадающие пары: \( b = 50 \) (симптом исчез), \( c = 30 \) (симптом появился). Статистика критерия:

\[ \chi^2 = \frac{(50 - 30)^2}{50 + 30} = \frac{400}{80} = 5.0 \]

Критическое значение \( \chi^2_{1, 0.05} = 3.841 \). Так как 5.0 > 3.841, нулевая гипотеза отвергается. Вывод: лечение статистически значимо изменило состояние пациентов (симптомы исчезали чаще, чем появлялись).

Связь с другими критериями

• Критерий знаков: также применяется для парных бинарных данных, но не учитывает величину изменений, а только знак. Критерий Макнемара является его более мощной версией для случая дихотомических данных.
• Критерий хи-квадрат Пирсона: используется для независимых выборок, а не для парных.
• Точный тест Фишера: применяется для таблиц 2×2 с малыми ожидаемыми частотами, но также для независимых выборок.

Применение в различных областях

• Медицина: оценка эффективности лечения (до/после), сравнение двух диагностических тестов на одних и тех же пациентах.
• Психология: анализ изменений в поведении или ответах на тесты до и после воздействия.
• Социология: изучение изменения мнений или установок в панельных исследованиях.
• Маркетинг: тестирование A/B-изменений на одной и той же группе пользователей (например, до и после изменения дизайна сайта).
• Биология: сравнение частот встречаемости признака в двух связанных выборках.

Ограничения и критика

1. Чувствительность к малым выборкам: при \( b + c < 10 \) аппроксимация хи-квадрат ненадёжна, требуется точный тест.
2. Игнорирование совпадающих пар: информация о стабильных состояниях (\( a \) и \( d \)) не используется, что может снижать мощность при малом числе изменений.
3. Только бинарные данные: критерий не применим к многокатегориальным или непрерывным переменным.
4. Предположение о симметрии: нулевая гипотеза предполагает, что изменения в обе стороны равновероятны, что не всегда соответствует реальности.

Альтернативы

• Точный биномиальный тест: рекомендуется при малых \( b + c \).
• Критерий Макнемара-Боукера: обобщение для таблиц \( k \times k \) с упорядоченными категориями.
• G-тест (критерий отношения правдоподобия): может быть использован как альтернатива для парных данных.

Интересные факты

• Критерий Макнемара является частным случаем теста на симметрию в таблицах сопряжённости.
• В некоторых источниках критерий называют «тестом Макнемара для связанных пропорций» или «парным хи-квадрат тестом».
• В 1970-х годах была предложена модификация критерия для анализа таблиц с нулевыми частотами.

Источники

1. McNemar, Q. (1947). Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages. Psychometrika, 12(2), 153–157.
2. Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.
3. Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.
4. Zar, J. H. (2010). Biostatistical Analysis (5th ed.). Pearson.
5. Флейсс, Дж. (1989). Статистические методы для таблиц сопряжённости и бинарных данных. М.: Финансы и статистика.