Критерий знаков

Критерий знаков — это непараметрический статистический критерий, используемый для проверки гипотезы о равенстве медиан двух связанных (парных) выборок или о равенстве медианы одной выборки заданному значению. Критерий основан на анализе направления (знака) разности между наблюдениями, а не на их абсолютных величинах, что делает его устойчивым к выбросам и не требующим предположения о нормальном распределении данных. В русскоязычной литературе также известен как G-критерий знаков или критерий знаковых рангов Уилкоксона (хотя последний является более мощной модификацией).

История

Критерий знаков был впервые предложен британским статистиком Джоном Арбетнотом в 1710 году в контексте анализа соотношения рождений мальчиков и девочек в Лондоне. Арбетнот заметил, что в течение 82 лет подряд число родившихся мальчиков превышало число девочек, и, используя биномиальное распределение, показал, что вероятность такого события при случайном равенстве полов ничтожно мала. Это считается одним из первых примеров применения статистической проверки гипотез.

В современном виде критерий знаков был формализован в середине XX века как часть развития непараметрической статистики. В 1945 году Фрэнк Уилкоксон предложил более мощный критерий знаковых рангов, который учитывает не только знак, но и величину разности, однако простой критерий знаков остаётся востребованным благодаря своей простоте и минимальным требованиям к данным.

Суть метода

Критерий знаков применяется, когда данные представлены в виде парных наблюдений (например, «до» и «после» лечения) или когда требуется сравнить медиану выборки с известным значением. Нулевая гипотеза \(H_0\) утверждает, что медиана разностей равна нулю (или что медиана выборки равна заданному значению). Альтернативная гипотеза \(H_1\) может быть двусторонней (медиана не равна нулю) или односторонней (медиана больше или меньше нуля).

Алгоритм применения

1. Для каждой пары наблюдений \((x_i, y_i)\) вычисляется разность \(d_i = x_i - y_i\).
2. Учитываются только те пары, где разность не равна нулю. Пары с нулевой разностью исключаются из анализа.
3. Определяется знак каждой разности: «+» (положительная) или «−» (отрицательная).
4. Подсчитывается количество положительных (\(n_+\)) и отрицательных (\(n_-\)) разностей.
5. Вычисляется тестовая статистика \(S = \min(n_+, n_-)\) или \(S = n_+\) (в зависимости от формулировки гипотезы).
6. Сравнивается полученное значение с критическим значением биномиального распределения с параметрами \(n = n_+ + n_-\) и \(p = 0.5\). Если \(S\) меньше или равно критическому значению, нулевая гипотеза отвергается.

Для больших выборок (обычно \(n > 20\)) используется нормальная аппроксимация биномиального распределения.

Пример

Предположим, что у 10 пациентов измеряли артериальное давление до и после приёма препарата. Результаты (в мм рт. ст.):

Нулевая гипотеза: медиана разностей равна нулю (препарат не влияет). Исключаем нулевую разность (пациент 3). Остаётся 9 наблюдений: \(n_+ = 6\), \(n_- = 3\). Тестовая статистика \(S = \min(6, 3) = 3\). Для \(n = 9\) и уровня значимости \(\alpha = 0.05\) двустороннее критическое значение биномиального распределения равно 1. Так как 3 > 1, нулевая гипотеза не отвергается — нет достаточных оснований считать, что препарат изменяет давление.

Ограничения и критика

Критерий знаков имеет ряд недостатков:

• Низкая мощность: из-за игнорирования величины разностей критерий часто не обнаруживает эффект, когда он есть, особенно на малых выборках. Для парных данных более предпочтительным является критерий знаковых рангов Уилкоксона.
• Потеря информации: исключение нулевых разностей уменьшает объём выборки, что может снизить статистическую значимость.
• Чувствительность к асимметрии: при сильно асимметричном распределении разностей критерий может давать смещённые результаты.

Несмотря на это, критерий знаков остаётся полезным в ситуациях, когда данные имеют грубую шкалу (например, только знак изменения) или когда распределение разностей заведомо не является симметричным.

Применение

Критерий знаков используется в различных областях:

• Медицина: оценка эффективности лечения по парным измерениям (например, уровень боли до и после терапии).
• Психология: анализ результатов тестов до и после воздействия.
• Экономика: сравнение показателей двух периодов (например, прибыль до и после внедрения новой технологии).
• Технические науки: проверка однородности измерений при калибровке приборов.

В России критерий знаков часто применяется в педагогических и социологических исследованиях, где данные могут быть представлены в порядковой шкале.

Связь с другими критериями

Критерий знаков является частным случаем биномиального теста, где вероятность успеха \(p = 0.5\). Он также тесно связан с критерием Макнемара для парных номинальных данных (когда учитываются только изменения). Более мощной альтернативой является критерий знаковых рангов Уилкоксона, который ранжирует абсолютные значения разностей.

Источники

• Арбетнот, Дж. (1710). «An Argument for Divine Providence, Taken from the Constant Regularity Observed in the Births of Both Sexes». Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
• Уилкоксон, Ф. (1945). «Individual Comparisons by Ranking Methods». Biometrics Bulletin.
• Холлендер, М., Вулф, Д. (1973). Непараметрические методы статистики. М.: Финансы и статистика.
• Гласс, Дж., Стэнли, Дж. (1976). Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс.