Критерий Найквиста

Критерий Найквиста (также известный как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова) — это частотный критерий устойчивости линейных динамических систем, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике (годографу Найквиста) её разомкнутой цепи. Критерий был разработан американским физиком и инженером Гарри Найквистом в 1932 году и впоследствии обобщён советским учёным Александром Михайловым. Он является одним из фундаментальных инструментов теории автоматического управления и теории цепей.

История

Критерий был предложен Гарри Найквистом, работавшим в лабораториях компании Bell Telephone Laboratories. В 1932 году он опубликовал статью «Regeneration Theory», в которой исследовал условия устойчивости усилителей с обратной связью. Проблема заключалась в том, что при определённых условиях положительная обратная связь приводила к самовозбуждению системы, что делало её непригодной для работы. Найквист разработал графический метод, позволяющий по частотной характеристике разомкнутой системы определить, будет ли замкнутая система устойчивой.

В 1938 году советский математик и инженер Александр Михайлов опубликовал работу, в которой дал строгое математическое обоснование критерия Найквиста и связал его с принципом аргумента. В советской и российской научно-технической литературе этот критерий часто называют критерием Найквиста — Михайлова.

Физический смысл и математическая основа

Критерий Найквиста основан на принципе аргумента из теории функций комплексного переменного. Он устанавливает связь между поведением частотной характеристики разомкнутой системы и устойчивостью системы в замкнутом состоянии.

Основные понятия

• Разомкнутая система — система, в которой разорвана цепь обратной связи. Её передаточная функция обозначается как \( W(s) \), где \( s \) — комплексная переменная (оператор Лапласа).
• Замкнутая система — система с замкнутой обратной связью. Её передаточная функция имеет вид \( \Phi(s) = \frac{W(s)}{1 + W(s)} \).
• Устойчивость — свойство системы возвращаться к установившемуся состоянию после прекращения внешнего воздействия. Система считается устойчивой, если все полюсы её передаточной функции лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости (имеют отрицательные вещественные части).

Формулировка критерия

Пусть разомкнутая система имеет \( m \) полюсов в правой полуплоскости (неустойчивых полюсов). Тогда замкнутая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда годограф Найквиста (амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы) при изменении частоты \( \omega \) от \( 0 \) до \( +\infty \) охватывает точку с координатами \( (-1, j0) \) ровно \( m/2 \) раз в положительном направлении (против часовой стрелки).

Если разомкнутая система устойчива (не имеет полюсов в правой полуплоскости, \( m = 0 \)), то замкнутая система устойчива, если годограф Найквиста не охватывает точку \( (-1, j0) \).

Особые случаи

• Системы с запаздыванием — критерий применим, но годограф может иметь сложную форму (спираль).
• Астатизм — если разомкнутая система содержит нулевые полюсы (интеграторы), годограф уходит в бесконечность. В этом случае критерий применяют с использованием дополнения годографа дугой бесконечно большого радиуса.
• Неустойчивая разомкнутая система — критерий позволяет оценить, можно ли стабилизировать такую систему замыканием обратной связи.

Применение в теории управления

Критерий Найквиста широко используется при проектировании и анализе систем автоматического управления (САУ). Его основные преимущества:

• Применимость к системам с запаздыванием — в отличие от алгебраических критериев (Рауса, Гурвица), критерий Найквиста позволяет анализировать системы, содержащие звенья чистого запаздывания, передаточная функция которых содержит экспоненциальный множитель \( e^{-\tau s} \).
• Наглядность — графическое представление (годограф) даёт инженеру возможность не только оценить устойчивость, но и определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
• Экспериментальное применение — частотные характеристики можно получить экспериментально, не зная точной математической модели системы. Это особенно важно для сложных промышленных объектов.

Запасы устойчивости

На основе критерия Найквиста вводятся количественные показатели надёжности системы:

• Запас устойчивости по амплитуде — показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы она оказалась на границе устойчивости. Определяется как расстояние от точки пересечения годографа с отрицательной вещественной осью до точки \( (-1, j0) \).
• Запас устойчивости по фазе — показывает, на сколько градусов можно увеличить фазовый сдвиг на частоте среза (где амплитуда равна 1), чтобы система потеряла устойчивость.

Применение в электротехнике и радиотехнике

В электротехнике критерий Найквиста используется для анализа устойчивости усилителей с обратной связью, генераторов, фильтров и других устройств. Особое значение он имеет в радиотехнике и связи:

• Усилители — критерий позволяет рассчитать условия, при которых усилитель не самовозбуждается.
• Генераторы — наоборот, для генерации колебаний необходимо, чтобы годограф охватывал точку \( (-1, j0) \) (условие самовозбуждения).
• Цифровые системы — существует дискретный аналог критерия (критерий Найквиста для дискретных систем), основанный на z-преобразовании.

Ограничения и критика

Несмотря на широкую распространённость, критерий Найквиста имеет ряд ограничений:

• Линейность — критерий строго применим только к линейным системам. Для нелинейных систем он может давать неверные результаты, хотя существуют методы его обобщения (например, критерий Попова).
• Сложность при высоком порядке — для систем с большим числом полюсов и нулей построение годографа вручную затруднительно. Однако современные пакеты математического моделирования (MATLAB, Scilab, Python с библиотекой control) позволяют автоматизировать этот процесс.
• Необходимость точной модели — хотя экспериментальное получение частотных характеристик возможно, для точного анализа требуется знание передаточной функции или её аппроксимация.

Интересные факты

• Гарри Найквист также известен своими работами в области теории информации и цифровой обработки сигналов. Он сформулировал теорему Котельникова — Найквиста — Шеннона (теорема отсчётов), которая лежит в основе оцифровки аналоговых сигналов.
• В советской литературе критерий часто называли «критерием Найквиста — Михайлова», подчёркивая вклад Александра Михайлова в его строгое математическое обоснование.
• Критерий Найквиста является частотным аналогом корневого критерия (метода корневого годографа), который также широко применяется в теории управления.

Источники

• Найквист Г. «Regeneration Theory» // Bell System Technical Journal, 1932, Vol. 11, pp. 126–147.
• Михайлов А. В. «Метод гармонического анализа в теории регулирования» // Автоматика и телемеханика, 1938, № 3, с. 27–37.
• Бесекерский В. А., Попов Е. П. «Теория систем автоматического управления». — М.: Наука, 1975.
• Дорф Р., Бишоп Р. «Современные системы управления». — М.: Лаборатория знаний, 2018.
• Острем К., Мюррей Р. «Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers». — Princeton University Press, 2009.