Критерий Вальда

Критерий Вальда (также известный как максиминный критерий, критерий крайнего пессимизма) — это один из классических критериев принятия решений в условиях неопределённости, используемый в теории игр, исследовании операций и экономике. Он предполагает, что лицо, принимающее решение (ЛПР), исходит из наихудшего для себя варианта развития событий и выбирает ту стратегию (альтернативу), которая гарантирует максимально возможный выигрыш в самом плохом случае. Критерий был предложен американским математиком Абрахамом Вальдом в 1939 году.

История возникновения

Критерий был разработан Абрахамом Вальдом (1902–1950), уроженцем Румынии, работавшим в Вене, а затем эмигрировавшим в США. Вальд внёс значительный вклад в статистику, экономику и теорию принятия решений. В 1939 году он опубликовал работу, в которой заложил основы последовательного анализа и сформулировал принцип максимина, впоследствии названный его именем. Изначально критерий применялся в статистической теории решений для оценки гипотез в условиях неопределённости, а затем был адаптирован для задач экономического выбора, управления запасами и планирования в условиях риска.

Математическая формулировка

Пусть имеется m возможных стратегий (альтернатив) ЛПР: \( A_1, A_2, \dots, A_m \). Состояния внешней среды (природы) — n возможных сценариев: \( S_1, S_2, \dots, S_n \). Для каждой пары (стратегия, состояние среды) известен выигрыш \( a_{ij} \) (или полезность, или доход). Матрица выигрышей имеет вид:

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

Критерий Вальда предписывает:

1. Для каждой стратегии \( A_i \) найти минимальный выигрыш среди всех возможных состояний среды:

\[ m_i = \min_{j} a_{ij} \]

1. Выбрать ту стратегию, для которой этот минимальный выигрыш максимален:

\[ A^* = \arg\max_{i} m_i = \arg\max_{i} \min_{j} a_{ij} \]

Полученное значение \( \max_{i} \min_{j} a_{ij} \) называется максимином (или гарантированным выигрышем). Стратегия, обеспечивающая максимин, называется максиминной.

Пример расчёта

Предположим, у инвестора есть три варианта вложений: акции (A1), облигации (A2), депозит (A3). Состояния экономики: рост (S1), стагнация (S2), кризис (S3). Матрица доходности (в процентах годовых):

Шаг 1: Минимумы по строкам:

• A1: min(20, 5, -10) = -10
• A2: min(10, 8, 2) = 2
• A3: min(6, 6, 6) = 6

Шаг 2: Максимум среди минимумов: max(-10, 2, 6) = 6.

Вывод: по критерию Вальда наилучшей стратегией является депозит (A3), гарантирующий 6% дохода даже в худшем случае.

Свойства и интерпретация

Критерий Вальда отражает крайне осторожную (пессимистическую) позицию ЛПР. Он ориентирован на минимизацию риска и гарантию результата, исключая любые надежды на благоприятный исход. Основные свойства:

• Гарантированность: выбранная стратегия обеспечивает не меньший выигрыш, чем максимин, при любом состоянии среды.
• Консервативность: игнорируются возможные высокие доходы при благоприятных сценариях, если они сопряжены с риском больших потерь.
• Устойчивость к ошибкам модели: не требует знания вероятностей состояний среды (в отличие от критерия Байеса-Лапласа).
• Субъективность: отражает личное отношение ЛПР к риску, а не объективную оптимальность.

Критерий Вальда часто противопоставляется критерию Сэвиджа (минимаксного сожаления) и критерию Гурвица (оптимизма-пессимизма). В отличие от критерия Сэвиджа, который минимизирует максимальное сожаление (упущенную выгоду), Вальд работает с абсолютными выигрышами.

Применение

В экономике и финансах

Критерий Вальда используется при выборе инвестиционных портфелей, особенно в условиях высокой неопределённости (например, во время кризисов). Инвесторы, придерживающиеся стратегии «хеджирования», могут выбирать активы с минимальным гарантированным доходом. Также применяется в управлении запасами: при определении минимального гарантированного уровня поставок.

В теории игр

В антагонистических играх с нулевой суммой критерий Вальда соответствует принципу максимина: игрок выбирает стратегию, максимизирующую его минимальный выигрыш, предполагая, что противник стремится минимизировать этот выигрыш. В таких играх максимин является нижней ценой игры.

В технике и логистике

При проектировании систем с высокими требованиями к надёжности (например, системы жизнеобеспечения, аварийные системы) критерий Вальда применяется для выбора конфигурации, гарантирующей работоспособность в наихудших условиях (отказ компонентов, экстремальные температуры и т.д.).

В государственном управлении

При планировании бюджетных расходов или распределении ресурсов в условиях неопределённости (например, при стихийных бедствиях) критерий Вальда может использоваться для выбора стратегии, минимизирующей максимальные потери.

Критика

Критерий Вальда подвергается критике за чрезмерный пессимизм, который может приводить к неэффективным решениям в ситуациях, где наихудшие сценарии маловероятны. Игнорирование вероятностей состояний среды лишает ЛПР возможности использовать доступную статистическую информацию. Кроме того, критерий не учитывает возможность диверсификации: если ЛПР может распределить ресурсы между несколькими стратегиями, максимин может быть неоптимальным.

Альтернативные подходы, такие как критерий Байеса-Лапласа (средневзвешенный выигрыш), критерий Сэвиджа (минимакс сожаления) или критерий Гурвица (с коэффициентом оптимизма), позволяют сбалансировать пессимизм и оптимизм в зависимости от предпочтений ЛПР.

Связь с другими критериями

• Критерий Сэвиджа: минимизирует максимальное сожаление (разность между выигрышем при данном состоянии и наилучшим возможным выигрышем). В отличие от Вальда, ориентирован на упущенную выгоду.
• Критерий Гурвица: взвешивает наилучший и наихудший исходы с помощью коэффициента оптимизма \( \alpha \in [0,1] \). При \( \alpha = 0 \) превращается в критерий Вальда, при \( \alpha = 1 \) — в критерий крайнего оптимизма.
• Критерий Байеса-Лапласа: использует средневзвешенный выигрыш при известных вероятностях состояний среды. При равной вероятности всех состояний он может давать результат, отличный от максимина.

Интересные факты

• Абрахам Вальд также известен как автор «проблемы выживаемости» (survivorship bias) — он указал, что военные самолёты, вернувшиеся с повреждениями, не отражают распределение уязвимых мест, так как сбитые самолёты не возвращаются.
• В теории игр максиминная стратегия является оптимальной для игрока, который не знает ходов противника и стремится к гарантированному результату.
• Критерий Вальда часто используется в задачах, где цена ошибки чрезвычайно высока (например, в ядерной безопасности или космических миссиях).

Источники

• Вальд А. «Последовательный анализ» (Sequential Analysis), 1947.
• Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. «Теория игр и экономическое поведение», 1944.
• Ларичев О.И. «Теория и методы принятия решений», 2000.
• Черчмен У., Акофф Р., Арнофф Л. «Введение в исследование операций», 1957.
• Хейл Дж. «Теория игр и экономическое моделирование», 1991.