Критерий Вейля¶

Критерий Вейля — это фундаментальное утверждение теории чисел и эргодической теории, устанавливающее необходимое и достаточное условие равномерной распределённости последовательности вещественных чисел по модулю 1. Критерий был сформулирован и доказан Германом Вейлем в 1916 году. Он позволяет свести задачу проверки равномерности распределения к анализу поведения сумм экспонент от членов последовательности, что открыло путь к изучению распределения дробных долей арифметических последовательностей, в том числе значений многочленов и показательных функций.

¶Определение

Последовательность вещественных чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\) называется равномерно распределённой по модулю 1, если для любого интервала \([a, b) \subset [0, 1)\) доля членов последовательности, дробная часть которых попадает в этот интервал, стремится к его длине \(b-a\) при \(n \to \infty\). Формально:

\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \#\{1 \le n \le N : \{x_n\} \in [a, b)\} = b - a, \]

где \(\{x_n\}\) обозначает дробную часть числа \(x_n\).

Критерий Вейля утверждает, что последовательность \(\{x_n\}\) равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для любого ненулевого целого числа \(k\) выполняется:

\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2\pi i k x_n} = 0. \]

Иными словами, среднее арифметическое экспонент от членов последовательности стремится к нулю для каждого ненулевого гармонического колебания.

¶История

Критерий был опубликован Германом Вейлем в 1916 году в статье «Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins» (О равномерном распределении чисел по модулю 1). Эта работа заложила основы теории равномерного распределения — раздела аналитической теории чисел, который изучает, как последовательности вещественных чисел «заполняют» единичный отрезок. Вейль использовал свой критерий для доказательства равномерной распределённости последовательностей вида \(\{n^2 \alpha\}\) при иррациональном \(\alpha\), а также для обобщения на многочлены высших степеней. Впоследствии критерий стал ключевым инструментом в эргодической теории, теории динамических систем и при изучении квазипериодических процессов.

¶Доказательство в общих чертах

Доказательство критерия опирается на теорию рядов Фурье и аппроксимацию характеристической функции интервала тригонометрическими многочленами. Необходимость условия следует из того, что функция \(e^{2\pi i k x}\) интегрируема по Риману на отрезке \([0,1]\) с нулевым средним, и равномерная распределённость влечёт сходимость средних к интегралу. Достаточность доказывается с помощью аппроксимации индикатора интервала тригонометрическими полиномами с малой погрешностью, что позволяет свести проверку равномерности к проверке условия для экспонент.

¶Применения

¶Многочлены с иррациональным коэффициентом

Одно из классических следствий критерия — теорема Вейля о многочленах: если \(P(n) = a_d n^d + a_{d-1} n^{d-1} + \dots + a_1 n\) — многочлен с вещественными коэффициентами, причём хотя бы один из коэффициентов \(a_1, \dots, a_d\) иррационален, то последовательность \(\{P(n)\}\) равномерно распределена по модулю 1. Доказательство использует оценку сумм Вейля — экспоненциальных сумм вида \(\sum_{n=1}^N e^{2\pi i P(n)}\), которые оцениваются с помощью методов Ван дер Корпута и Вейля.

¶Последовательности кратных иррационального числа

Для последовательности \(\{n \alpha\}\) с иррациональным \(\alpha\) критерий немедленно даёт равномерную распределённость, так как сумма \(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2\pi i k n \alpha}\) является геометрической прогрессией и стремится к нулю. Это один из первых примеров, иллюстрирующих критерий.

¶Показательные функции

Последовательность \(\{b^n \alpha\}\) при целом \(b > 1\) и иррациональном \(\alpha\) может быть равномерно распределена, если \(\alpha\) не является рациональной комбинацией логарифмов. Критерий Вейля позволяет свести задачу к оценкам сумм вида \(\sum_{n=1}^N e^{2\pi i k b^n \alpha}\), которые изучаются в рамках теории диофантовых приближений.

¶Эргодическая теория

В эргодической теории критерий Вейля интерпретируется как условие слабой сходимости мер, порождённых последовательностью. Для динамической системы, заданной поворотом окружности на иррациональный угол, критерий эквивалентен эргодичности этого поворота.

¶Обобщения

¶Многомерный случай

Критерий Вейля обобщается на последовательности векторов в \(\mathbb{R}^m\). Последовательность \(\{\mathbf{x}_n\}\) равномерно распределена по модулю 1 в единичном кубе \([0,1)^m\) тогда и только тогда, когда для любого ненулевого целочисленного вектора \(\mathbf{k} \in \mathbb{Z}^m\) выполняется:

\[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2\pi i \langle \mathbf{k}, \mathbf{x}_n \rangle} = 0, \]

где \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) — стандартное скалярное произведение.

¶Весовые критерии

Существуют варианты критерия для последовательностей с весами, когда вместо простого среднего рассматривается взвешенное среднее с некоторой последовательностью весов. Это используется в теории чисел при изучении сумм с простыми числами.

¶Критерий для функций

В эргодической теории существует аналог критерия для последовательностей функций, называемый критерием Вейля для средних по времени. Он формулируется в терминах сходимости эргодических средних для унитарных операторов.

¶Связь с другими понятиями

Критерий Вейля тесно связан с дискрепансностью — мерой отклонения последовательности от равномерного распределения. Оценки дискрепансности через экспоненциальные суммы (неравенство Эрдёша — Турана — Коксмы) основаны на идеях, восходящих к критерию Вейля. Также критерий используется в теории квази-Монте-Карло методов для оценки многомерных интегралов, где последовательности с низкой дискрепансностью (например, последовательности Соболя или Холтона) строятся на основе равномерно распределённых последовательностей.

¶Примеры

1. Последовательность \(\{n \sqrt{2}\}\) равномерно распределена по модулю 1, так как \(\sqrt{2}\) иррационален. Критерий проверяется через сумму геометрической прогрессии.
2. Последовательность \(\{n^2 \pi\}\) равномерно распределена по модулю 1, что следует из теоремы Вейля о многочленах, поскольку \(\pi\) иррационален.
3. Последовательность \(\{\log n\}\) не является равномерно распределённой по модулю 1, так как её дробные части сгущаются около 0. Критерий Вейля в этом случае не выполняется, так как суммы экспонент не стремятся к нулю.

¶Критика и ограничения

Критерий Вейля является мощным, но не всегда удобным для практической проверки, так как требует вычисления экспоненциальных сумм для всех ненулевых \(k\). Для многих последовательностей (например, порождённых рекуррентными соотношениями) оценка таких сумм может быть сложной. Кроме того, критерий не даёт количественной информации о скорости сходимости — для этого используются оценки дискрепансности. В случае последовательностей, порождённых простыми числами, критерий приводит к открытым проблемам, связанным с гипотезой Римана.

¶Источники

• Weyl, H. (1916). Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Mathematische Annalen, 77(3), 313–352.
• Kuipers, L., & Niederreiter, H. (1974). Uniform Distribution of Sequences. Wiley-Interscience.
• Королёв, М. А. (2015). Теория равномерного распределения. МЦНМО.
• Кац, М. (1967). Статистическая независимость в теории чисел. Мир.