Скалярное произведение

Скалярное произведение (также внутреннее произведение) — это бинарная операция над двумя векторами в евклидовом пространстве, результатом которой является скаляр (число). Оно является одной из фундаментальных операций векторной алгебры и геометрии, позволяя определить длину вектора, угол между векторами и проекцию одного вектора на другой. Скалярное произведение обобщается на более общие векторные пространства в виде внутреннего произведения, которое лежит в основе теории гильбертовых пространств.

Определение

Геометрическое определение

В евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов a и b определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta, \] где \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — длины векторов, а \(\theta\) — угол между ними. Если векторы коллинеарны и сонаправлены (\(\theta = 0\)), произведение равно произведению длин; если перпендикулярны (\(\theta = 90^\circ\)), произведение равно нулю.

Алгебраическое определение

В координатной форме, если векторы заданы в ортонормированном базисе (например, в декартовой системе координат), скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i, \] где \(a_i\) и \(b_i\) — координаты векторов a и b в \(n\)-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\).

Свойства

Скалярное произведение обладает следующими свойствами (для любых векторов a, b, c и скаляра \(\lambda\)):

Коммутативность: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\).
Линейность по первому аргументу: \((\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\) и \((\mathbf{a} + \mathbf{c}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{b}\).
Положительная определённость: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \ge 0\), причём \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 0\) тогда и только тогда, когда \(\mathbf{a} = \mathbf{0}\).
Неравенство Коши — Буняковского: \(|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\), с равенством при коллинеарности векторов.

История

Понятие скалярного произведения восходит к работам древнегреческих математиков, однако в явном виде оно было сформулировано в XIX веке. В 1840-х годах Уильям Роуэн Гамильтон ввёл понятие кватернионов, где скалярная часть произведения двух кватернионов соответствует современному скалярному произведению. В 1844 году Герман Грассман в своей «Теории протяжённостей» (Ausdehnungslehre) описал операцию, названную им «линейным произведением», которая по сути является скалярным произведением для векторов. Термин «скалярное произведение» (scalar product) ввёл в 1901 году американский математик Джозайя Уиллард Гиббс в своём учебнике «Векторный анализ», написанном совместно с Эдвином Бидвеллом Уилсоном. В XX веке понятие было обобщено на бесконечномерные пространства в работах Давида Гильберта и Джона фон Неймана, что привело к созданию теории гильбертовых пространств.

Геометрическая интерпретация

Длина вектора

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2. \] Отсюда длина (норма) вектора: \(|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}\).

Угол между векторами

Косинус угла между векторами выражается через скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}. \] Это позволяет определить угол между векторами в любом евклидовом пространстве размерности \(n \ge 2\).

Проекция вектора

Скалярная проекция вектора a на направление вектора b (длина проекции) равна: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}. \] Векторная проекция: \(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \mathbf{b}\).

Применение

В физике

Работа силы: Работа \(A\), совершаемая постоянной силой F при перемещении тела на вектор s, равна скалярному произведению: \(A = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} = |\mathbf{F}| |\mathbf{s}| \cos \theta\).
Мощность: Мгновенная мощность \(P\) равна скалярному произведению силы F на скорость v: \(P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\).
Поток вектора: В электродинамике поток вектора (например, электрического поля) через поверхность вычисляется как скалярное произведение вектора поля на вектор элемента площади.

В математике

Аналитическая геометрия: Проверка ортогональности векторов (если \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\), то векторы перпендикулярны).
Линейная алгебра: Определение длины вектора, угла между векторами, ортогонализация (процесс Грама — Шмидта).
Функциональный анализ: В гильбертовых пространствах скалярное произведение используется для определения сходимости, ортогональности функций и разложения в ряды Фурье.

В компьютерных науках

Машинное обучение: Скалярное произведение лежит в основе многих алгоритмов, таких как метод опорных векторов (SVM), нейронные сети (вычисление взвешенной суммы входов), метрики сходства (косинусное сходство).
Компьютерная графика: Расчёт освещения (модель Ламберта), определение угла падения света, проверка видимости поверхностей.
Обработка сигналов: Корреляция сигналов, фильтрация, преобразование Фурье.

Обобщения

Внутреннее произведение в векторных пространствах

В произвольном векторном пространстве (не обязательно евклидовом) скалярное произведение обобщается до понятия внутреннего произведения — билинейной, симметричной, положительно определённой функции \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). Пространство с таким произведением называется предгильбертовым; если оно полно, то гильбертовым. Примеры:

В пространстве непрерывных функций на отрезке \([a, b]\): \(\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \, dx\).
В пространстве последовательностей \(\ell^2\): \(\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^\infty x_i y_i\).