Линейная электрическая цепь¶

Линейная электрическая цепь — это электрическая цепь, в которой электрические токи и напряжения связаны между собой линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Ключевым свойством такой цепи является пропорциональность между воздействием (напряжением или током источника) и откликом (током или напряжением на элементах), а также выполнение принципа суперпозиции (наложения).

¶Основные свойства

Линейность цепи означает, что её параметры (сопротивление, индуктивность, ёмкость) не зависят от величины протекающего тока или приложенного напряжения. Для линейных цепей справедливы следующие фундаментальные положения:

• Принцип суперпозиции: реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.
• Принцип взаимности: если источник в первой ветви создаёт ток во второй, то такой же источник, перенесённый во вторую ветвь, создаст тот же ток в первой.
• Отсутствие гармоник: при подаче на вход синусоидального сигнала на выходе сохраняется та же частота (изменяются лишь амплитуда и фаза).

¶Элементы линейных цепей

К идеальным линейным элементам относятся:

• Резистор (R) — элемент, рассеивающий энергию. Связь тока и напряжения описывается законом Ома: U = I·R.
• Катушка индуктивности (L) — накапливает энергию в магнитном поле. Напряжение пропорционально скорости изменения тока: u = L·(di/dt).
• Конденсатор (C) — накапливает энергию в электрическом поле. Ток пропорционален скорости изменения напряжения: i = C·(du/dt).

Источники энергии в линейных цепях делятся на независимые (идеальные источники ЭДС и тока) и зависимые (управляемые источники). При этом сами источники могут быть как постоянными, так и переменными (синусоидальными, импульсными и т.д.).

¶Методы анализа

Для расчёта линейных электрических цепей применяются классические методы:

• Метод законов Кирхгофа — составление системы уравнений на основе первого (для узлов) и второго (для контуров) законов.
• Метод контурных токов — уменьшение числа уравнений за счёт использования фиктивных контурных токов.
• Метод узловых потенциалов — составление уравнений относительно потенциалов узлов цепи.
• Метод эквивалентного генератора (метод Тевенина и Нортона) — замена части цепи эквивалентным источником с внутренним сопротивлением.
• Метод наложения — расчёт воздействия каждого источника отдельно с последующим суммированием результатов.

Для цепей синусоидального тока широко применяется символический метод, при котором переход к комплексным амплитудам позволяет использовать алгебраические операции вместо решения дифференциальных уравнений. В этом случае вводится понятие комплексного сопротивления (импеданса) Z = R + jX, где X — реактивное сопротивление (для индуктивности XL = ωL, для ёмкости XC = 1/(ωC)).

¶Переходные процессы

В линейных цепях, содержащих реактивные элементы (L, C), при коммутации возникают переходные процессы. Их длительность определяется постоянной времени цепи τ. Для цепей первого порядка (одно реактивное звено) справедлива экспоненциальная зависимость: f(t) = f(∞) + [f(0) − f(∞)]·e^(−t/τ). Для цепей второго порядка возможны апериодический или колебательный характер переходного процесса в зависимости от добротности системы.

¶Частотные характеристики

Линейные цепи описываются частотными характеристиками:

• Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты.
• Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) — зависимость сдвига фаз между выходным и входным сигналом от частоты.

На основе этих характеристик строятся фильтры (нижних и верхних частот, полосовые, режекторные), корректирующие звенья и резонансные контуры.

¶Значение и применение

Линейные цепи являются базовой моделью в теоретической электротехнике и радиотехнике. На их основе рассчитываются линии электропередачи, усилительные каскады в режиме малого сигнала, измерительные мосты, корректирующие цепи. Реальные электронные компоненты (транзисторы, диоды) являются нелинейными, однако для малых амплитуд сигнала вокруг рабочей точки их поведение с достаточной точностью аппроксимируется линейными моделями, что позволяет применять весь аппарат теории линейных цепей.

¶Источники

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — М.: Юрайт, 2017.
• Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. — М.: Энергоатомиздат, 1989.
• Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. — СПб.: Лань, 2009.