Линейная оболочка¶

Линейная оболочка (также линейная оболочка множества векторов, подпространство, порождённое множеством) — это множество всех линейных комбинаций векторов данного множества над некоторым полем. Линейная оболочка является наименьшим линейным подпространством, содержащим исходное множество векторов, и играет фундаментальную роль в линейной алгебре, функциональном анализе и смежных дисциплинах.

¶Определение

Пусть \(V\) — векторное пространство над полем \(F\) (например, полем действительных чисел \(\mathbb{R}\) или комплексных чисел \(\mathbb{C}\)). Пусть \(S \subseteq V\) — произвольное подмножество векторов. Линейной оболочкой множества \(S\) (обозначается \(\operatorname{span}(S)\), \(\langle S \rangle\) или \(L(S)\)) называется множество всех конечных линейных комбинаций векторов из \(S\):

\[ \operatorname{span}(S) = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbf{v}_i \;\middle|\; n \in \mathbb{N},\; \mathbf{v}_i \in S,\; \alpha_i \in F \right\}. \]

Если \(S\) пусто, то по определению \(\operatorname{span}(\varnothing) = \{ \mathbf{0} \}\), где \(\mathbf{0}\) — нулевой вектор.

¶Свойства

Линейная оболочка обладает рядом фундаментальных свойств, вытекающих из аксиом векторного пространства:

• Подпространство: \(\operatorname{span}(S)\) является линейным подпространством \(V\) (то есть замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр).
• Минимальность: \(\operatorname{span}(S)\) — наименьшее (по включению) подпространство, содержащее \(S\). Если \(W\) — любое подпространство, такое что \(S \subseteq W\), то \(\operatorname{span}(S) \subseteq W\).
• Идемпотентность: \(\operatorname{span}(\operatorname{span}(S)) = \operatorname{span}(S)\).
• Монотонность: Если \(S_1 \subseteq S_2\), то \(\operatorname{span}(S_1) \subseteq \operatorname{span}(S_2)\).
• Размерность: Размерность \(\operatorname{span}(S)\) равна рангу системы векторов \(S\) (максимальному числу линейно независимых векторов в \(S\)).

¶Способы описания

Линейную оболочку можно описать несколькими эквивалентными способами:

• Как множество всех линейных комбинаций: Это исходное определение.
• Как пересечение всех подпространств, содержащих \(S\): \(\operatorname{span}(S) = \bigcap_{W \supseteq S,\; W \le V} W\). Это свойство часто используется в аксиоматическом построении.
• Через базис: Если \(\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_k\}\) — базис \(\operatorname{span}(S)\), то \(\operatorname{span}(S) = \left\{ \sum_{i=1}^{k} \beta_i \mathbf{e}_i \mid \beta_i \in F \right\}\).

¶Примеры

1. Векторы на плоскости: В пространстве \(\mathbb{R}^2\) линейная оболочка одного ненулевого вектора \(\mathbf{v} = (1, 2)\) — это прямая линия, проходящая через начало координат: \(\operatorname{span}(\{\mathbf{v}\}) = \{ t \cdot (1, 2) \mid t \in \mathbb{R} \}\). Линейная оболочка двух неколлинеарных векторов, например \(\mathbf{v}_1 = (1, 0)\) и \(\mathbf{v}_2 = (0, 1)\), — это всё пространство \(\mathbb{R}^2\).
2. Многочлены: В пространстве всех многочленов степени не выше \(n\) линейная оболочка множества \(\{1, x, x^2, \dots, x^n\}\) — это всё пространство многочленов степени не выше \(n\).
3. Матрицы: В пространстве матриц \(2 \times 2\) линейная оболочка четырёх стандартных единичных матриц \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\) (где \(E_{ij}\) имеет 1 на позиции \((i,j)\) и нули в остальных) — это всё пространство всех матриц \(2 \times 2\).
4. Нулевое подпространство: \(\operatorname{span}(\{\mathbf{0}\}) = \{\mathbf{0}\}\).

¶Связь с другими понятиями

• Базис: Базисом линейной оболочки \(\operatorname{span}(S)\) является любая максимальная линейно независимая подсистема \(S\).
• Ранг: Ранг системы векторов \(S\) — это размерность \(\operatorname{span}(S)\).
• Линейная зависимость: Множество \(S\) линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из его векторов принадлежит линейной оболочке остальных.
• Прямая сумма: Если \(U\) и \(W\) — подпространства \(V\), то их сумма \(U + W = \operatorname{span}(U \cup W)\).
• Линейное отображение: Образ линейного отображения \(T: V \to W\) — это линейная оболочка образов базисных векторов \(V\). Ядро \(T\) — это подпространство, линейная оболочка которого равна нулю.

¶В бесконечномерных пространствах

В функциональном анализе, где рассматриваются бесконечномерные векторные пространства (например, пространства функций), понятие линейной оболочки обобщается. Для бесконечного множества \(S\) линейная оболочка состоит из конечных линейных комбинаций. Это важное отличие: бесконечные суммы (ряды) не входят в \(\operatorname{span}(S)\), если не задана дополнительная топология. В топологических векторных пространствах (например, в гильбертовых или банаховых пространствах) вводится понятие замкнутой линейной оболочки (или замкнутого подпространства, порождённого \(S\)), которая включает все пределы последовательностей конечных комбинаций.

¶Применение

• Решение систем линейных уравнений: Множество решений однородной системы \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) — это линейная оболочка фундаментальной системы решений.
• Аппроксимация: В теории приближений ищут наилучшее приближение элемента из большого пространства элементами из заданной линейной оболочки (например, многочленами).
• Машинное обучение: В методах главных компонент (PCA) и факторном анализе данные проецируются на линейную оболочку нескольких главных векторов.
• Квантовая механика: Состояния квантовой системы образуют гильбертово пространство; любое состояние можно представить как линейную комбинацию (суперпозицию) базисных состояний, то есть элемент их линейной оболочки.

¶Интересные факты

• Понятие линейной оболочки является центральным в теореме о ранге матрицы: ранг матрицы по столбцам равен рангу по строкам, и оба равны размерности линейной оболочки её столбцов (или строк).
• В курсе линейной алгебры для студентов технических специальностей России (например, в МГУ, МФТИ, СПбГУ) линейная оболочка традиционно вводится на втором-третьем занятии, сразу после определения векторного пространства.
• Термин «линейная оболочка» (англ. linear span) ввёл в обиход немецкий математик Герман Грассман в середине XIX века, хотя строгое определение в современном виде было сформулировано позже, в рамках аксиоматической линейной алгебры.