Логарифмическая доходность

Логарифмическая доходность — это показатель эффективности инвестиций или финансового актива, рассчитываемый как натуральный логарифм отношения конечной цены актива к начальной. В отличие от простой (арифметической) доходности, логарифмическая доходность обладает свойством аддитивности во времени, что делает её удобной для статистического анализа, моделирования и оценки рисков в финансах.

Определение и формула

Логарифмическая доходность \( r_t \) за период \( t \) определяется как:

\[ r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln(P_t) - \ln(P_{t-1}) \]

где \( P_t \) — цена актива в момент времени \( t \), \( P_{t-1} \) — цена актива в предыдущий момент времени, а \( \ln \) — натуральный логарифм.

Для набора последовательных периодов логарифмическая доходность за весь интервал равна сумме логарифмических доходностей за каждый подпериод:

\[ R_{[0,T]} = \sum_{t=1}^{T} \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln\left(\frac{P_T}{P_0}\right) \]

Это свойство называется аддитивностью во времени и является ключевым отличием от простой доходности.

Сравнение с простой доходностью

Простая (арифметическая) доходность \( R_t \) рассчитывается как:

\[ R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1 \]

Основные различия между простой и логарифмической доходностью:

Для малых изменений цен (до нескольких процентов) простая и логарифмическая доходности приблизительно равны, так как \( \ln(1+x) \approx x \) при малых \( x \).

Математические свойства

Аддитивность

Логарифмическая доходность за несколько периодов вычисляется как сумма доходностей за каждый период. Это позволяет легко агрегировать данные за произвольные временные интервалы без необходимости пересчёта через произведение множителей.

Симметричность

Если цена актива сначала выросла на 10%, а затем упала на 10% (в логарифмическом выражении), итоговая доходность будет равна нулю. В случае с простой доходностью такое же изменение привело бы к чистому убытку (например, рост на 10% с 100 до 110, затем падение на 10% до 99).

Связь с непрерывным начислением процентов

Логарифмическая доходность соответствует непрерывно начисляемой процентной ставке. Если актив вырос с \( P_0 \) до \( P_T \) за время \( T \), то логарифмическая доходность \( \ln(P_T / P_0) \) равна непрерывной ставке \( r \), умноженной на \( T \): \( P_T = P_0 \cdot e^{rT} \).

Распределение и статистика

В финансовой эконометрике часто предполагается, что логарифмические доходности имеют нормальное распределение (или близкое к нему). Это допущение лежит в основе многих моделей, включая модель Блэка — Шоулза для оценки опционов. На практике распределение логарифмических доходностей финансовых активов обычно имеет «тяжёлые хвосты» (больше экстремальных значений, чем предсказывает нормальное распределение) и отрицательную асимметрию для акций (больше крупных падений, чем крупных ростов).

Применение в финансах

Управление рисками

Логарифмическая доходность используется для расчёта волатильности (стандартного отклонения доходностей), Value at Risk (VaR) и других метрик риска. Аддитивность позволяет легко пересчитывать волатильность между разными временными горизонтами (например, из дневной в годовую).

Портфельный анализ

При расчёте доходности портфеля из нескольких активов логарифмическая доходность портфеля не равна взвешенной сумме логарифмических доходностей отдельных активов (в отличие от простой доходности). Однако для коротких периодов это приближение часто используется на практике. Для точных расчётов применяют логарифмическую доходность портфеля, вычисляемую через изменение его общей стоимости.

Моделирование цен активов

В модели геометрического броуновского движения, используемой в стохастическом исчислении для финансов, цена актива моделируется как экспонента от процесса с логарифмической доходностью, имеющей нормальное распределение. Это позволяет аналитически решать задачи ценообразования опционов.

Оценка эффективности инвестиций

Логарифмическая доходность удобна для сравнения доходностей за разные периоды, особенно при реинвестировании прибыли. Средняя логарифмическая доходность за период (среднее геометрическое) точнее отражает реальную среднегодовую доходность при волатильности, чем средняя арифметическая простая доходность.

Ограничения и критика

• Интерпретация: Логарифмическая доходность менее интуитивна для неподготовленного инвестора, чем процентное изменение цены.
• Отрицательные цены: Формула неприменима, если цена актива может стать отрицательной (что в реальности невозможно для большинства активов, но встречается в некоторых деривативах).
• Нулевые цены: При цене, равной нулю, логарифм не определён.
• Предположение о нормальности: Допущение о нормальном распределении логарифмических доходностей часто нарушается на практике, что приводит к недооценке риска экстремальных событий (например, финансовых кризисов).

Пример расчёта

Пусть цена акции в понедельник составила 100 рублей, во вторник — 110 рублей, в среду — 105 рублей.

Простая доходность за вторник: (110 - 100) / 100 = 0,10 (10%). Простая доходность за среду: (105 - 110) / 110 ≈ -0,0455 (-4,55%). Сумма простых доходностей: 10% - 4,55% = 5,45%, но реальная доходность за два дня: (105 - 100) / 100 = 5%.

Логарифмическая доходность за вторник: ln(110/100) ≈ 0,0953 (9,53%). Логарифмическая доходность за среду: ln(105/110) ≈ -0,0465 (-4,65%). Сумма логарифмических доходностей: 0,0953 - 0,0465 = 0,0488, что равно ln(105/100) ≈ 0,0488 (4,88%).

Таким образом, логарифмическая доходность за два дня (4,88%) равна сумме дневных логарифмических доходностей, в то время как простая доходность (5%) не равна сумме дневных простых доходностей (5,45%).

Источники

• Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
• Campbell, J. Y., Lo, A. W., & MacKinlay, A. C. (1997). The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press.
• Шарп, У., Александер, Г., & Бэйли, Дж. (2016). Инвестиции. ИНФРА-М.
• Буренин, А. Н. (2020). Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. НТЦ «Развитие».