Логарифмические уравнения на ЕГЭ по математике¶

Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком логарифма; на экзамене ЕГЭ по математике базового уровня они встречаются в первой (профильной по сложности) контрольной работе и проверяют умение определять область допустимых значений (ОДЗ), применять свойства логарифмов и приводить уравнение к простейшим видам.

¶Основные свойства логарифмов

Для решения логарифмических уравнений используются следующие свойства (при условии, что основание логарифма a > 0, a ≠ 1, а аргумент x > 0):

• log_a(x) определяется как степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить x;
• log_a(a·x) = x — логарифм числа, равного основанию, равен единице;
• log_a(1) = 0 — логарифм единицы равен нулю;
• log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y) — логарифм произведения;
• log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y) — логарифм частного;
• log_a(x^n) = n·log_a(x) — логарифм степени;
• формула перехода к новому основанию: log_a(x) = log_b(x) / log_b(a).

¶Определение области допустимых значений

Первый и обязательный шаг при решении любого логарифмического уравнения — записать ОДЗ: аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения вида log_a(f(x)) = log_a(g(x)) ОДЗ записывается как система неравенств f(x) > 0 и g(x) > 0.

Пример: при решении log_2(x − 1) = 3 ОДЗ задаётся условием x − 1 > 0, то есть x > 1.

¶Основные методы решения

¶Метод 1. Приведение к показательной форме

Если уравнение имеет вид log_a(f(x)) = b, оно эквивалентно показательной форме f(x) = a^b. Это базовый приём, на котором строится большинство задач базового уровня.

Пример: log_3(x) = 4 → x = 3^4 = 81. Проверка ОДЗ: 81 > 0 — условие выполняется.

¶Метод 2. Сведение к одному логарифму

Если обе части уравнения — логарифмы с одним основанием, используется равенство: log_a(f(x)) = log_a(g(x)) эквивалентно системе f(x) = g(x) и f(x) > 0.

Пример: log_2(x + 3) = log_2(2x − 1). Получаем x + 3 = 2x − 1, откуда x = 4. ОДЗ: 4 + 3 > 0 и 2·4 − 1 > 0 — выполняется.

¶Метод 3. Замена переменной

Для уравнений вида a·(log x)^2 + b·log x + c = 0 используется замена t = log x. Получается квадратное уравнение относительно t, после решения которого необходимо вернуться к исходной переменной: x = 10^t (для десятичного логарифма) или x = a^t.

Пример: (log x)^2 − 3·log x + 2 = 0. Замена t = log x даёт t^2 − 3t + 2 = 0, откуда t = 1 или t = 2. Следовательно, x = 10 или x = 100.

¶Метод 4. Обращение к свойствам логарифмов

Уравнения, где логарифмы имеют разные основания или сложные аргументы, решаются с помощью свойств: разложение логарифма произведения на сумму, вынесение показателя, переход к новому основанию.

Пример: log_2(x) + log_2(x − 2) = 3. По свойству суммы логарифмов: log_2(x(x − 2)) = 3, далее x(x − 2) = 2^3 = 8, то есть x^2 − 2x − 8 = 0. Решение: x = 4 или x = −2. ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, поэтому x = −2 отбрасывается. Ответ: x = 4.

¶Типичные ошибки

• Отсутствие проверки ОДЗ — корень, не удовлетворяющий условию положительности аргумента, должен быть отброшен.
• Забывание, что логарифм определён только при положительном основании, отличном от единицы.
• Ошибка при обращении логарифмической функции в показательную: log_a(x) = b равносильно x = a^b, а не x = b^a.
• Попытка применять свойства логарифмов к сумме: log_a(x + y) не разлагается на log_a(x) + log_a(y).

¶Рекомендации по подготовке

На экзамене базового уровня задачи с логарифмами, как правило, не выходят за рамки приведённых методов. Порядок действий при решении: записать ОДЗ, упростить уравнение с помощью свойств логарифмов, свести к простейшему виду (показательная форма или квадратное уравнение), решить полученное уравнение, проверить корни по ОДЗ.

Для подготовки рекомендуется отрабатывать навык быстрого определения ОДЗ и автоматическое применение свойств логарифмов, а также решать типовые задания из открытого банка заданий ФИПИ, где логарифмические уравнения представлены в формате, близком к экзаменационному.

¶Источники

• ФИПИ — открытый банк заданий ЕГЭ по математике (базовый уровень)
• Приказ Министерства просвещения Российской Федерации о внесении изменений в особенности проведения ЕГЭ
• Учебные пособия по алгебре для 9–11 классов (под редакцией Макарычева, Миндюка)