Лоран Шварц¶

Лоран Шварц (фр. Laurent Schwartz; 5 марта 1915, Париж — 4 июля 2002, Париж) — французский математик, один из создателей теории распределений (обобщённых функций). Лауреат Филдсовской премии (1950), член Парижской академии наук (1975) и ряда других академий. Основные труды Шварца относятся к функциональному анализу, топологическим векторным пространствам, теории меры и дифференциальным уравнениям в частных производных.

¶Биография

Лоран Шварц родился в еврейской семье, его отец был врачом. В 1934 году поступил в Высшую нормальную школу (École Normale Supérieure) в Париже, где учился у таких математиков, как Анри Картан и Гастон Жюлиа. После окончания школы в 1937 году Шварц получил агреже по математике и начал преподавательскую деятельность.

Во время Второй мировой войны, в связи с оккупацией Франции нацистской Германией, Шварц, будучи евреем, был вынужден скрываться. Он жил в Лионе и других городах, используя поддельные документы, и продолжал научную работу в нелегальных условиях. В этот период он начал разрабатывать основы теории распределений.

После войны Шварц работал в Университете Нанси (1945–1952), а затем в Парижском университете (1952–1959). В 1959 году он стал профессором Политехнической школы (École Polytechnique), где проработал до выхода на пенсию в 1983 году. В 1950 году на Международном конгрессе математиков в Кембридже (США) Шварц был удостоен Филдсовской премии за создание теории распределений.

В последние годы жизни Шварц активно занимался общественной деятельностью, выступая против колониальных войн и за права человека. Он был одним из подписантов «Манифеста 121» (1960) против войны в Алжире. Умер в 2002 году в Париже.

¶Научные достижения

¶Теория распределений

Главным вкладом Шварца в математику является создание теории распределений (обобщённых функций), которую он изложил в двухтомной монографии «Théorie des distributions» (1950–1951). Распределения — это обобщение понятия функции, позволяющее корректно определять производные для разрывных и сингулярных объектов, таких как дельта-функция Дирака. Теория Шварца дала строгое математическое обоснование методам, широко использовавшимся в физике (например, в квантовой механике).

Ключевые понятия теории:

• Пространство основных функций — пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (обычно обозначается \( \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \)).
• Пространство распределений \( \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n) \) — пространство непрерывных линейных функционалов на \( \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \).
• Производная распределения — определяется через интегрирование по частям, что позволяет дифференцировать любые локально интегрируемые функции.
• Свёртка распределений — обобщение операции свёртки функций.

Теория распределений стала фундаментом для современного функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики.

¶Топологические векторные пространства

Шварц внёс значительный вклад в теорию топологических векторных пространств, в частности, ввёл понятие ядерного пространства (nuclear space). Ядерные пространства, такие как пространство Шварца \( \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \) (быстро убывающих функций) и пространство \( \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \), обладают свойством, что тензорное произведение двух таких пространств совпадает с их проективным тензорным произведением. Это свойство имеет важные приложения в теории распределений и квантовой теории поля.

¶Другие направления

Шварц также работал в области теории меры (в частности, изучал меры на бесконечномерных пространствах), теории вероятностей (ввёл понятие мартингала) и дифференциальной геометрии. Он является автором нескольких монографий, в том числе «Analyse mathématique» (1967) и «Cours d'analyse» (1970).

¶Основные труды

• «Théorie des distributions» (Tome 1, 1950; Tome 2, 1951) — основополагающая работа по теории распределений.
• «Méthodes mathématiques pour les sciences physiques» (1961) — учебник по математическим методам для физиков.
• «Analyse mathématique» (1967) — двухтомный курс математического анализа.
• «Cours d'analyse» (1970) — введение в анализ для студентов.
• «Un mathématicien aux prises avec le siècle» (1997) — автобиография.

¶Признание и награды

• Филдсовская премия (1950) — за создание теории распределений.
• Член Парижской академии наук (1975).
• Член Американской академии искусств и наук (1950).
• Иностранный член Национальной академии наук США (1976).
• Иностранный член Лондонского королевского общества (1985).
• Премия имени Гумбольдта (1990).

¶Общественная деятельность

Шварц был известен своей активной гражданской позицией. В 1960 году он подписал «Манифест 121» — декларацию французских интеллектуалов, осуждавшую войну в Алжире и призывавшую к неповиновению. В 1970-х годах он выступал против диктатур в Латинской Америке, в частности, против режима Пиночета в Чили. Шварц также был членом комитета по защите прав советских диссидентов.

¶Влияние и наследие

Работы Шварца оказали огромное влияние на математику XX века. Теория распределений стала стандартным инструментом в анализе, теории дифференциальных уравнений, математической физике и квантовой механике. Введённые им понятия (пространство Шварца, ядерные пространства) активно используются в современных исследованиях. Имя Шварца носит Институт математики при Университете Париж-Сакле (Institut de Mathématiques Laurent Schwartz).

¶Источники

• Schwartz, L. «Théorie des distributions». — Paris: Hermann, 1950–1951.
• Dieudonné, J. «History of Functional Analysis». — Amsterdam: North-Holland, 1981.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977–1985.
• O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. «Laurent Schwartz» // MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.