Тензорное произведение

Тензорное произведение — это билинейная операция над векторными пространствами (или, в более общем случае, над модулями над кольцом), которая позволяет построить новое векторное пространство из двух (или более) заданных. Результат операции, обозначаемый как \( V \otimes W \), состоит из формальных линейных комбинаций «символов» вида \( v \otimes w \), где \( v \in V \), \( w \in W \), подчинённых правилам билинейности. Тензорное произведение является фундаментальным понятием в линейной алгебре, теории представлений, дифференциальной геометрии, квантовой механике и тензорном анализе.

Определение

Пусть \( V \) и \( W \) — векторные пространства над одним и тем же полем \( \mathbb{F} \). Тензорным произведением \( V \otimes W \) называется векторное пространство над \( \mathbb{F} \), для которого существует билинейное отображение \( \varphi: V \times W \to V \otimes W \), обладающее следующим универсальным свойством: для любого билинейного отображения \( f: V \times W \to U \) (где \( U \) — произвольное векторное пространство над \( \mathbb{F} \)) существует единственное линейное отображение \( \tilde{f}: V \otimes W \to U \) такое, что \( f = \tilde{f} \circ \varphi \).

Иными словами, тензорное произведение «универсально» в том смысле, что любое билинейное отображение из \( V \times W \) факторизуется через линейное отображение из \( V \otimes W \). Это свойство однозначно определяет пространство \( V \otimes W \) с точностью до изоморфизма.

Конструктивно тензорное произведение строится как факторпространство свободного векторного пространства, порождённого множеством всех упорядоченных пар \( (v, w) \) (где \( v \in V \), \( w \in W \)), по подпространству, натянутому на соотношения билинейности:

• \( (v_1 + v_2, w) \sim (v_1, w) + (v_2, w) \),
• \( (v, w_1 + w_2) \sim (v, w_1) + (v, w_2) \),
• \( (\alpha v, w) \sim \alpha (v, w) \),
• \( (v, \alpha w) \sim \alpha (v, w) \),

где \( \alpha \in \mathbb{F} \). Класс эквивалентности пары \( (v, w) \) обозначается как \( v \otimes w \).

Свойства

Размерность

Если \( V \) и \( W \) конечномерны, то размерность тензорного произведения равна произведению размерностей: \[ \dim(V \otimes W) = \dim V \cdot \dim W. \] Если \( \{e_i\}_{i=1}^m \) — базис \( V \), а \( \{f_j\}_{j=1}^n \) — базис \( W \), то множество \( \{e_i \otimes f_j\} \) образует базис \( V \otimes W \). Любой элемент \( t \in V \otimes W \) однозначно записывается в виде: \[ t = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n t^{ij} \, e_i \otimes f_j, \] где \( t^{ij} \in \mathbb{F} \) — координаты тензора.

Билинейность и мультилинейность

Операция \( \otimes \) билинейна:

• \( (v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w \),
• \( v \otimes (w_1 + w_2) = v \otimes w_1 + v \otimes w_2 \),
• \( (\alpha v) \otimes w = \alpha (v \otimes w) = v \otimes (\alpha w) \).

Для нескольких пространств тензорное произведение ассоциативно: \( (V \otimes W) \otimes U \cong V \otimes (W \otimes U) \), и обычно пишут \( V \otimes W \otimes U \).

Коммутативность

Тензорное произведение не является коммутативным в том смысле, что \( V \otimes W \) и \( W \otimes V \) — разные пространства, хотя они канонически изоморфны: существует изоморфизм \( \tau: V \otimes W \to W \otimes V \), заданный как \( \tau(v \otimes w) = w \otimes v \).

Тензоры как элементы тензорного произведения

Элементы тензорного произведения \( V \otimes W \) называются тензорами (точнее, тензорами второго ранга). Если \( V \) — пространство ковекторов (сопряжённое пространство) или само пространство, то получаются тензоры различных типов (контравариантные, ковариантные, смешанные). В более общем смысле, тензорное произведение нескольких копий \( V \) и \( V^* \) порождает пространство тензоров произвольного ранга.

Например, пространство \( V \otimes V^ \) естественно изоморфно пространству линейных операторов \( \operatorname{End}(V) \): элементу \( v \otimes \omega \) (где \( v \in V \), \( \omega \in V^ \)) соответствует оператор \( x \mapsto \omega(x) v \).

Конструкции и примеры

Тензорное произведение матриц (произведение Кронекера)

Если \( V \) и \( W \) конечномерны, то линейные отображения \( A: V \to V \) и \( B: W \to W \) индуцируют линейное отображение \( A \otimes B: V \otimes W \to V \otimes W \), действующее на разложимых элементах как: \[ (A \otimes B)(v \otimes w) = (Av) \otimes (Bw). \] В матричном представлении (при выборе базисов) операция \( A \otimes B \) соответствует произведению Кронекера матриц. Если \( A \) имеет размер \( m \times m \), а \( B \) — \( n \times n \), то \( A \otimes B \) — матрица размера \( mn \times mn \), элементы которой задаются как: \[ (A \otimes B)_{ik, jl} = A_{ij} B_{kl}, \] где индексы упорядочены лексикографически.

Пример: конечномерные пространства

Пусть \( V = \mathbb{R}^2 \) с базисом \( \{e_1, e_2\} \), \( W = \mathbb{R}^3 \) с базисом \( \{f_1, f_2, f_3\} \). Тогда \( V \otimes W \) — шестимерное пространство с базисом \( \{e_i \otimes f_j\} \). Элемент \( v = (1,2) \in V \) и \( w = (3,4,5) \in W \) даёт разложимый тензор \( v \otimes w = 1 \cdot 3 \cdot (e_1 \otimes f_1) + 1 \cdot 4 \cdot (e_1 \otimes f_2) + \dots \) — всего 6 слагаемых.

Пример: пространство функций

Если \( V = C^\infty(\mathbb{R}) \) — пространство гладких функций на прямой, а \( W = C^\infty(\mathbb{R}) \) — аналогичное пространство, то \( V \otimes W \) можно отождествить с пространством гладких функций двух переменных \( f(x,y) \), которые являются конечными суммами произведений функций одной переменной: \( f(x,y) = \sum_i g_i(x) h_i(y) \). Однако в бесконечномерном случае тензорное произведение не исчерпывает всех функций двух переменных (например, функция \( \sin(xy) \) не представима в такой конечной сумме).

Тензорное произведение модулей и алгебр

Понятие тензорного произведения обобщается на модули над коммутативным кольцом \( R \). В этом случае \( M \otimes_R N \) определяется аналогично, с учётом того, что билинейность заменяется на \( R \)-билинейность (т.е. \( (rm) \otimes n = r (m \otimes n) = m \otimes (rn) \) для \( r \in R \)). Это используется в алгебраической топологии (например, для вычисления гомологий) и в теории алгебр.

Для алгебр \( A \) и \( B \) над полем \( \mathbb{F} \) тензорное произведение \( A \otimes B \) также становится алгеброй с умножением, определённым на разложимых элементах как: \[ (a_1 \otimes b_1) \cdot (a_2 \otimes b_2) = (a_1 a_2) \otimes (b_1 b_2), \] и продолженным по линейности.

Применение

В физике

В квантовой механике состояние составной системы (например, двух частиц) описывается вектором в тензорном произведении гильбертовых пространств отдельных подсистем. Если система 1 находится в состоянии \( |\psi\rangle \in H_1 \), а система 2 — в состоянии \( |\phi\rangle \in H_2 \), то состояние составной системы есть \( |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle \). Однако не все состояния являются разложимыми (произведениями) — такие неразложимые состояния называются запутанными и играют ключевую роль в квантовой информации.

В дифференциальной геометрии

Тензорное произведение используется для построения тензорных полей на многообразиях. Например, метрический тензор \( g \) является элементом \( T^M \otimes T^M \) (ковариантным тензором второго ранга), а тензор кривизны Римана — элементом \( T^M \otimes T^M \otimes T^*M \otimes TM \).

В теории представлений

Тензорное произведение представлений группы \( G \) даёт новое представление: если \( \rho_V: G \to GL(V) \) и \( \rho_W: G \to GL(W) \), то \( \rho_{V \otimes W}(g)(v \otimes w) = (\rho_V(g) v) \otimes (\rho_W(g) w) \). Разложение тензорного произведения на неприводимые компоненты — центральная задача теории представлений (например, правила Клебша — Гордана для группы \( SU(2) \)).

В компьютерных науках

В машинном обучении и обработке сигналов тензорное произведение используется для построения многомерных массивов (тензоров) и их разложений (например, CP-разложение, разложение Таккера). Произведение Кронекера применяется в задачах линейной алгебры больших размерностей и в криптографии.

Обобщения

• Тензорное произведение гильбертовых пространств требует пополнения по норме и используется в функциональном анализе.
• Проективное тензорное произведение (в теории банаховых пространств) учитывает топологию.
• Тензорное произведение категорий — понятие из теории категорий, обобщающее все предыдущие конструкции.

Критика и ограничения

В бесконечномерных пространствах (например, в гильбертовых) тензорное произведение в алгебраическом смысле часто не является полным пространством; для работы с топологией требуется пополнение (например, тензорное произведение Гильберта — Шмидта). Кроме того, не все билинейные отображения могут быть представлены как линейные на алгебраическом тензорном произведении без дополнительных условий (например, в случае модулей над некоммутативными кольцами).

Источники

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963.
• Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004.