Метод Христиановича

Метод Христиановича — это инженерный метод расчёта напряжённо-деформированного состояния массива горных пород вокруг подземных выработок, разработанный советским учёным, академиком Сергеем Алексеевичем Христиановичем в 1930-х годах. Метод относится к классу аналитических решений задач геомеханики и позволяет оценить устойчивость горных выработок и распределение напряжений в окружающем их массиве, исходя из упругих свойств пород и геометрических параметров выработки.

История создания

Метод был разработан в 1930-е годы, в период активного развития горной промышленности в СССР, когда возникла острая необходимость в научно обоснованных методах расчёта крепи и прогноза устойчивости подземных сооружений, особенно в условиях больших глубин. Сергей Алексеевич Христианович, работавший в Институте механики Академии наук СССР, предложил математическую модель, основанную на теории упругости. Первоначально метод был опубликован в 1938 году в работе «О расчёте горного давления на крепь горизонтальной выработки». Впоследствии метод получил развитие в трудах учеников Христиановича, в частности, в работах А. Н. Динника, А. Б. Моргаевского и других исследователей, и стал классическим инструментом горной геомеханики.

Физические основы и допущения

Метод Христиановича основан на следующих ключевых допущениях:

• Упругая модель среды: массив горных пород рассматривается как линейно-упругое, изотропное и однородное тело. Деформации считаются малыми и подчиняются закону Гука.
• Плоская деформация: задача сводится к плоской (двумерной), при которой выработка считается бесконечно длинной, а деформации вдоль её оси отсутствуют. Это позволяет рассматривать поперечное сечение выработки.
• Отсутствие начальных напряжений: предполагается, что до проведения выработки массив находился в ненапряжённом состоянии или что начальные напряжения (например, гравитационные) можно не учитывать в рамках модели. В более поздних модификациях метода учитывается начальное поле напряжений.
• Форма выработки: метод разработан для выработок кругового поперечного сечения, так как для этой формы существуют точные аналитические решения в теории упругости.
• Отсутствие пластических деформаций: метод применим только для упругой стадии деформирования, то есть до начала разрушения породы.

Основные положения метода

Суть метода заключается в решении задачи теории упругости для бесконечной упругой плоскости с круговым отверстием, на контуре которого приложены заданные нагрузки (реакция крепи или горное давление). Решение выполняется с использованием функций напряжений (функции Эри) и метода комплексных потенциалов (метод Колосова — Мусхелишвили).

Распределение напряжений

В результате решения получаются аналитические формулы для радиальных (σr), тангенциальных (σθ) и касательных (τrθ) напряжений в любой точке массива вокруг выработки. Для случая отсутствия начальных напряжений и равномерного давления на контуре выработки (например, от крепи) распределение напряжений описывается следующими выражениями:

• Радиальные напряжения: σr = p * (a² / r²)
• Тангенциальные напряжения: σθ = -p * (a² / r²)

где:

• p — равномерное давление на контуре выработки (например, реакция крепи),
• a — радиус выработки,
• r — расстояние от центра выработки до рассматриваемой точки.

Из этих формул следует, что напряжения убывают обратно пропорционально квадрату расстояния от центра выработки. На контуре выработки (r = a) радиальные напряжения равны давлению p, а тангенциальные — противоположны по знаку и равны по модулю (-p). Вдали от выработки (r → ∞) напряжения стремятся к нулю.

Определение смещений

Метод также позволяет рассчитать радиальные смещения (u) контура выработки и окружающего массива. Для случая равномерного давления смещение контура выработки определяется по формуле:

u = (p * a) / (2G)

где G — модуль сдвига породы.

Применение метода

Метод Христиановича применяется в горной геомеханике для решения следующих задач:

• Расчёт горного давления на крепь: позволяет определить величину давления, которое оказывает массив на крепь выработки, в зависимости от её радиуса, упругих свойств пород и глубины заложения.
• Оценка устойчивости выработок: по величине максимальных тангенциальных напряжений на контуре выработки можно оценить, не превышают ли они предел прочности породы на сжатие или растяжение, что позволяет прогнозировать возможные обрушения.
• Проектирование крепи: метод даёт исходные данные для выбора типа и параметров крепи (например, толщины бетонной обделки или шага анкеров).
• Анализ влияния выработок друг на друга: при строительстве сближенных выработок метод позволяет оценить взаимное влияние напряжений.

Достоинства и недостатки

Достоинства

• Простота и наглядность: метод даёт простые аналитические формулы, которые легко применять в инженерных расчётах без использования сложных численных методов.
• Фундаментальность: является одним из первых строгих решений задачи о напряжённом состоянии вокруг выработки, что послужило основой для многих последующих разработок.
• Быстрота расчёта: позволяет получить результат за несколько минут, что удобно для предварительных оценок.

Недостатки

• Ограниченная область применения: метод справедлив только для круговых выработок, упругих пород и при отсутствии начальных напряжений. В реальных условиях форма выработок часто бывает арочной или прямоугольной, а породы — неоднородными и пластичными.
• Неучёт пластических деформаций: метод не описывает поведение пород после достижения предела прочности, что может приводить к занижению оценок устойчивости.
• Игнорирование начального поля напряжений: в исходной версии не учитывается гравитационное поле напряжений, что может существенно искажать результаты для глубоких выработок.

Модификации и развитие

На основе метода Христиановича были разработаны его модификации, учитывающие более сложные условия:

• Метод с учётом начального поля напряжений: вводится начальное поле напряжений, например, гидростатическое (σz = γH, где γ — удельный вес породы, H — глубина). В этом случае решение становится более сложным, но позволяет точнее оценить напряжения на контуре выработки.
• Метод для анизотропных пород: разработаны варианты для пород, обладающих различными упругими свойствами в разных направлениях.
• Метод для неупругих деформаций: введены поправки на пластические деформации, например, с использованием модели Кулона — Мора.

Пример расчёта

Рассмотрим горизонтальную выработку кругового сечения радиусом a = 2 м, пройденную в упругом массиве с модулем сдвига G = 10⁴ МПа. На крепь действует равномерное давление p = 1 МПа. Требуется определить радиальное смещение контура выработки.

По формуле u = (p a) / (2G) = (1 2) / (2 * 10⁴) = 0,0001 м = 0,1 мм.

Таким образом, смещение контура выработки составит около 0,1 мм, что является упругой деформацией.

Источники

1. Христианович С. А. О расчёте горного давления на крепь горизонтальной выработки. — М.: Издательство АН СССР, 1938.
2. Динник А. Н., Моргаевский А. Б. Горное давление. — М.: Углетехиздат, 1959.
3. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика подземных сооружений. — М.: Недра, 1984.
4. Шашенко А. Н., Пустовойтенко В. П. Геомеханика. — Киев: Наукова думка, 2004.