Метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера

Метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера (сокращённо ФЛРУ, FLRW) — это точное решение уравнений общей теории относительности (ОТО), описывающее однородную и изотропную Вселенную. Данная метрика является фундаментом современной космологии и лежит в основе модели Большого взрыва. Она описывает пространство-время, которое может расширяться или сжиматься, и позволяет связать геометрические свойства Вселенной с её материальным наполнением.

История и развитие

Ранние работы (1922—1924)

В 1922 году советский математик и геофизик Александр Фридман впервые получил нестационарные решения уравнений Эйнштейна для однородной и изотропной Вселенной. В своей работе «О кривизне пространства» (1922) и последующей статье 1924 года он показал, что уравнения ОТО допускают существование расширяющейся, сжимающейся или пульсирующей Вселенной, в зависимости от средней плотности материи. Фридман ввёл три возможных типа геометрии: с положительной, нулевой и отрицательной пространственной кривизной. Его работы первоначально не получили широкого признания, в том числе из-за скептического отношения Альберта Эйнштейна, который в 1917 году предложил статическую модель Вселенной с космологической постоянной.

Вклад Жоржа Леметра (1927)

В 1927 году бельгийский физик и католический священник Жорж Леметра, независимо от Фридмана, пришёл к аналогичным выводам. Он опубликовал статью «Однородная Вселенная постоянной массы и возрастающего радиуса, объясняющая радиальные скорости внегалактических туманностей», где вывел закон расширения Вселенной (позднее названный законом Хаббла) и предложил концепцию «первичного атома» — предшественника теории Большого взрыва. Леметра также впервые связал решение Фридмана с наблюдательными данными о красном смещении галактик, полученными Весто Слайфером и Эдвином Хабблом.

Обобщение Робертсоном и Уокером (1935—1936)

В 1935—1936 годах американские математики Говард Робертсон и Артур Уокер независимо друг от друга доказали, что метрика для однородного и изотропного пространства-времени является единственно возможной с точностью до масштабного фактора. Они систематизировали и строго математически обосновали форму метрики, которая теперь носит их имена (наряду с Фридманом и Леметром). В англоязычной литературе метрику часто называют FRW (Фридман — Робертсон — Уокер), а в русскоязычной — ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уокер).

Математическая формулировка

Общий вид метрики

В сопутствующих координатах метрика ФЛРУ записывается в виде:

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right]$$

где:

$ds^2$ — интервал пространства-времени;
$c$ — скорость света;
$t$ — космологическое время (время, измеряемое покоящимися наблюдателями);
$a(t)$ — масштабный фактор, зависящий только от времени и описывающий относительное расширение или сжатие Вселенной;
$r$, $\theta$, $\phi$ — сопутствующие сферические координаты;
$k$ — параметр пространственной кривизны, принимающий значения:
$k = +1$ — трёхмерная сфера (замкнутая, положительная кривизна);
$k = 0$ — плоское евклидово пространство (нулевая кривизна);
$k = -1$ — трёхмерное гиперболическое пространство (открытая, отрицательная кривизна).

Сопутствующие координаты

Сопутствующие координаты выбраны так, что каждая точка (галактика, скопление) имеет постоянные значения $r$, $\theta$, $\phi$. Физическое расстояние между двумя такими точками меняется только за счёт изменения масштабного фактора $a(t)$. Это удобно для описания расширения Вселенной, так как выделяет космологическое время, единое для всех сопутствующих наблюдателей.

Масштабный фактор

Масштабный фактор $a(t)$ является ключевой динамической переменной. Его эволюция определяется уравнениями Фридмана, которые выводятся из ОТО при подстановке метрики ФЛРУ. Обычно $a(t)$ нормируют так, чтобы в текущий момент времени $t_0$ его значение было равно 1: $a(t_0) = 1$. Тогда красное смещение $z$ связано с масштабным фактором соотношением:

$$1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t)} = \frac{1}{a(t)}$$

Уравнения Фридмана

Первое уравнение

Первое уравнение Фридмана (уравнение для темпа расширения) имеет вид:

$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

где:

$\dot{a}$ — производная масштабного фактора по времени;
$G$ — гравитационная постоянная;
$\rho$ — средняя плотность энергии Вселенной (включая материю, излучение и тёмную энергию);
$\Lambda$ — космологическая постоянная (предложена Эйнштейном, в современной космологии интерпретируется как тёмная энергия).

Второе уравнение

Второе уравнение Фридмана (уравнение ускорения) связывает ускорение расширения с давлением:

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

где $p$ — давление. Для обычной материи (пыли) $p = 0$, для излучения $p = \rho c^2 / 3$, для тёмной энергии (в модели с $\Lambda$) $p = -\rho c^2$.

Параметр Хаббла

Параметр Хаббла $H(t)$ определяется как:

$$H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$$

В современную эпоху $H_0 \approx 67.4 \pm 0.5$ км/с/Мпк (по данным Planck 2018) или $73.0 \pm 1.0$ км/с/Мпк (по данным SH0ES), что порождает так называемое «напряжение Хаббла» — расхождение между разными методами измерения.

Геометрические свойства

Кривизна пространства

Параметр $k$ определяет глобальную геометрию трёхмерного пространства:

Плоская Вселенная ($k=0$): евклидова геометрия, сумма углов треугольника равна 180°, объём бесконечен (при бесконечном радиусе).
Замкнутая Вселенная ($k=+1$): сферическая геометрия, сумма углов треугольника больше 180°, объём конечен, Вселенная имеет конечный радиус.
Открытая Вселенная ($k=-1$): гиперболическая геометрия, сумма углов треугольника меньше 180°, объём бесконечен.

Современные наблюдения (данные космической обсерватории Planck, 2018) указывают на то, что Вселенная с высокой точностью плоская: $\Omega_k = 0.0007 \pm 0.0019$, где $\Omega_k$ — параметр кривизны.

Горизонты

Метрика ФЛРУ предсказывает существование космологических горизонтов:

Горизонт частиц: максимальное расстояние, с которого свет мог достичь наблюдателя за всё время существования Вселенной. Он ограничивает наблюдаемую область.
Горизонт событий: граница, за которой события никогда не будут видны наблюдателю в будущем, если расширение ускоряется.

Применение в космологии

Модель Большого взрыва

Метрика ФЛРУ является основой стандартной космологической модели ΛCDM (Лямбда-CDM), описывающей эволюцию Вселенной от горячего плотного состояния (Большой взрыв) до современного этапа ускоренного расширения. В рамках этой модели:

На ранних этапах ($t \to 0$) масштабный фактор $a(t) \to 0$, плотность и температура стремятся к бесконечности — сингулярность Большого взрыва.
После инфляционной фазы (экспоненциальное расширение) Вселенная переходит в радиационно-доминированную, затем в материально-доминированную и, наконец, в тёмно-энергетически-доминированную эпоху.

Космологические расстояния

Метрика позволяет определять различные типы расстояний:

Сопутствующее расстояние: расстояние, измеренное в сопутствующих координатах, не меняющееся со временем.
Светимостьное расстояние: расстояние, используемое для связи видимой и абсолютной звёздных величин.
Угловое расстояние: расстояние, используемое для связи физического размера объекта и его углового размера на небе.

Наблюдательные подтверждения

Закон Хаббла: красное смещение галактик пропорционально расстоянию до них, что является прямым следствием расширения пространства, описываемого метрикой.
Реликтовое излучение: космическое микроволновое фоновое излучение (CMB) имеет спектр абсолютно чёрного тела с температурой $2.725$ К, что согласуется с предсказаниями модели горячего Большого взрыва.
Нуклеосинтез: предсказанные abundances лёгких элементов (водород, гелий, литий) соответствуют наблюдениям.

Критика и ограничения

Сингулярность

Метрика ФЛРУ предсказывает начальную сингулярность в момент $t=0$, где классическая ОТО перестаёт работать. Для описания физики вблизи сингулярности требуется квантовая теория гравитации, которая пока не построена. Существуют альтернативные модели (например, циклическая Вселенная, теория струн), которые пытаются избежать сингулярности.

Проблема горизонта

В рамках стандартной модели ФЛРУ области Вселенной, разделённые расстоянием больше горизонта частиц, не могли быть причинно связаны в прошлом, однако реликтовое излучение имеет почти одинаковую температуру во всех направлениях. Это противоречие разрешается введением инфляционной стадии (быстрое экспоненциальное расширение в ранней Вселенной), которая не является прямым следствием метрики ФЛРУ, а добавляется как дополнительная гипотеза.

Проблема плоскостности

Параметр кривизны $\Omega_k$ сегодня очень близок к нулю, что требует тонкой настройки начальных условий. Инфляция также решает эту проблему, «выравнивая» геометрию.

Напряжение Хаббла

Различие в значениях $H_0$, полученных из CMB (ранняя Вселенная) и из локальных измерений (сверхновые, цефеиды), может указывать на неполноту стандартной модели ΛCDM, хотя метрика ФЛРУ остаётся основой для всех этих расчётов.

Интересные факты

Метрика ФЛРУ является точным решением уравнений Эйнштейна, но не единственным. Существуют и другие космологические решения, например, метрика де Ситтера (для Вселенной с $\Lambda$ и без материи) или метрика Гёделя (вращающаяся Вселенная).
В 2011 году Нобелевская премия по физике была присуждена Солу Перлмуттеру, Брайану Шмидту и Адаму Риссу за открытие ускоренного расширения Вселенной, которое описывается метрикой ФЛРУ с $\Lambda > 0$.
В русскоязычной литературе метрику часто называют «метрикой Фридмана», хотя международное обозначение FLRW признаёт вклад всех четырёх учёных.

Источники

Фридман А. А. «О кривизне пространства» (1922)
Леметр Ж. «Однородная Вселенная постоянной массы и возрастающего радиуса» (1927)
Робертсон Г. П. «Кинематика и всемирное время» (1935)
Уокер А. Г. «О пространствах Римана с максимальной подвижностью» (1936)
Planck Collaboration. «Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters» (2020)
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теория поля» (том II, 1973)
Вайнберг С. «Космология» (2008)

BFOmetr — база данных и аналитика по компаниям России.

На главную BFOmetr →