Метрика как математическое понятие¶
Метрика — в математике функция, задающая расстояние между парами точек метрического пространства; в прикладных науках и информатике термин обозначает также измеримые показатели, используемые для оценки свойств объектов, процессов и систем.
¶Метрика в математике
¶Определение
Пусть $M$ — непустое множество. Функция $\rho: M \times M \to \mathbb{R}$ называется метрикой (или расстоянием), если для любых $x, y, z \in M$ выполнены четыре аксиомы:
- Неотрицательность: $\rho(x, y) \geq 0$.
- Вырожденность: $\rho(x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$.
- Симметрия: $\rho(x, y) = \rho(y, x)$.
- Неравенство треугольника: $\rho(x, z) \leq \rho(x, y) + \rho(y, z)$.
Пара $(M, \rho)$ называется метрическим пространством. Метрические пространства составляют фундаментальную основу топологии, функционального анализа и теории вероятностей.
¶Основные примеры
| Пространство | Метрика | ||
|---|---|---|---|
| $\mathbb{R}^n$ | Евклидова: $\rho(x,y) = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$ | ||
| $\mathbb{R}^n$ | Манхэттенская: $\rho(x,y) = \sum | x_i - y_i | $ |
| $\mathbb{R}^n$ | Чебышёвская: $\rho(x,y) = \max | x_i - y_i | $ |
| Пространство непрерывных функций | $\rho(f,g) = \max_{x \in [a,b]} | f(x) - g(x) | $ |
| Пространство квадратично интегрируемых функций | $\rho(f,g) = \left(\int | f-g | ^p\right)^{1/p}$ (метрика Минковского) |
Все перечисленные функции удовлетворяют аксиомам метрики, хотя геометрическая интерпретация расстояния существенно различается.
¶Обобщения
- Полуметрика — функция, удовлетворяющая аксиомам 1, 3, 4, но допускающая $\rho(x,y)=0$ при $x \neq y$.
- Псевдометрика — обобщение, где неравенство треугольника сохраняется, но вырожденность может не выполняться.
- Квазиметрика — функция, где симметрия заменяется неравенством $\rho(x,z) \leq K(\rho(x,y) + \rho(y,z))$ для некоторого $K \geq 1$.
- Риманова метрика — обобщение на гладкие многообразия, задаваемое положительно определённой симметричной тензорной полем (квадратичной формой) в каждой касательной плоскости; лежит в основе общей теории относительности.
- Метрика Гаусса — Куропаткина — метрика на пространстве самих метрических пространств.
¶Применение метрик в математике
Метрика позволяет определить понятия предела, непрерывности, сходимости последовательностей и функций, плотности, компактности. Метрические пространства, в которых любая последовательность Коши сходится, называются полными; важнейшие полные метрические пространства — банаховы и гильбертовы пространства.
¶Метрика в информатике и анализе данных
¶Расстояния между объектами
В машинном обучении и анализе данных под метрикой часто понимают функцию сходства или расстояния между объектами, представленными в виде векторов признаков. Выбор метрики напрямую влияет на результат кластеризации, классификации и поиска ближайших соседей.
Помимо евклидовой и манхэттенской, широко используются:
- Косинусное расстояние — $1 - \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\|}$; применяется в обработке естественного языка.
- Расстояние Махаланобиса — учитывает корреляции между признаками.
- Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых строки различаются; применяется в теории кодирования.
- Расстояние Левенштейна — минимальное число одиночных вставок, удалений и замен символов для приведения одной строки к другой; используется в проверке орфографии и диффузии версий.
¶Метрики качества моделей
В контексте оценки работы алгоритмов термин «метрика» обозначает количественный показатель качества:
- Accuracy — доля верных предсказаний.
- Precision и Recall — точность и полнота классификации.
- F1-мера — гармоническое среднее precision и recall.
- MSE, RMSE, MAE — метрики ошибки регрессии.
- Log-loss — логарифмическая функция потерь для вероятностных моделей.
¶Метрика в физике и технике
В физике метрика пространства-времени описывается метрическим тензором $g_{\mu\nu}$, который в общей теории относительности определяет гравитационное поле и кривизну пространства-времени. Решения уравнений Эйнштейна — это конкретные формы метрического тензора: метрика Шварцшильда (около неподвижной сферической массы), метрика Фридмана (однородная и изотропная Вселенная), метрика Керра (вращающаяся чёрная дыра).
В технике и стандартизации метрическая система единиц (СИ) обеспечивает единые измерения массы, длины, времени и других величин.
¶Смежные понятия
- Нормированное пространство — векторное пространство с нормой; метрика выводится как $\rho(x,y) = \|x - y\|$.
- Гильбертово пространство — полное нормированное пространство с внутренним произведением; метрика евклидова.
- Банахово пространство — полное нормированное пространство.
Источники:
- Колодзейчик В. М. «Общая теория метрических пространств»
- Куратовский К., Мостовский А. «Топология»
- Бурбаки Н. «Общая топология»
- Рудин У. «Функциональный анализ»
- Клайн М. «Математика. Потеря определённости»