Мультипликативная группа

Мультипликативная группа — это алгебраическая структура, состоящая из множества элементов, на котором определена бинарная операция умножения, удовлетворяющая аксиомам группы. В наиболее распространённом контексте термин относится к группе обратимых элементов кольца (например, поля или целых чисел по модулю) относительно операции умножения. Мультипликативные группы являются фундаментальным объектом изучения в абстрактной алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии.

Определение и основные свойства

Мультипликативная группа — это группа (G, ), где операция называется умножением. Для неё выполняются следующие аксиомы:

• Замкнутость: для любых a, b ∈ G, a * b ∈ G.
• Ассоциативность: (a b) c = a (b c) для всех a, b, c ∈ G.
• Существование нейтрального элемента: существует элемент e ∈ G, такой что e a = a e = a для всех a ∈ G. Этот элемент обычно обозначается 1.
• Существование обратного элемента: для каждого a ∈ G существует элемент a⁻¹ ∈ G, такой что a a⁻¹ = a⁻¹ a = e.

В отличие от аддитивной группы, где операция — сложение, а нейтральный элемент — 0, в мультипликативной группе операция — умножение, а нейтральный элемент — 1. Группа называется абелевой (коммутативной), если операция умножения коммутативна: a b = b a для всех a, b ∈ G. Большинство классических мультипликативных групп, например, группы обратимых элементов поля, являются абелевыми.

Мультипликативная группа поля

Наиболее важный пример — мультипликативная группа поля. Если (F, +, ) — поле, то множество всех ненулевых элементов F\{0} с операцией умножения образует группу, обозначаемую F или Fˣ. Эта группа всегда абелева.

Свойства

• Конечные поля: Для конечного поля GF(q) (где q = pⁿ, p — простое) мультипликативная группа GF(q) является циклической группой порядка q-1. Это означает, что существует элемент g (примитивный элемент), такой что каждый ненулевой элемент поля является степенью g. Например, в поле GF(7) = {0,1,2,3,4,5,6} группа GF(7) = {1,2,3,4,5,6} — циклическая порядка 6. Примитивный элемент — 3, так как 3¹=3, 3²=2, 3³=6, 3⁴=4, 3⁵=5, 3⁶=1.
• Бесконечные поля: Для поля действительных чисел ℝ мультипликативная группа ℝ = ℝ\{0} не является циклической. Она содержит подгруппу положительных чисел ℝ⁺, которая изоморфна аддитивной группе ℝ (через логарифм). Группа ℝ изоморфна прямому произведению ℝ⁺ и циклической группы порядка 2 (элементы {1, -1}).
• Поле комплексных чисел: Группа ℂ* = ℂ\{0} — это группа всех ненулевых комплексных чисел. Она изоморфна прямому произведению ℝ⁺ (положительные действительные числа) и окружности S¹ (комплексные числа с модулем 1). Эта группа не является циклической.

Мультипликативная группа кольца вычетов

Для кольца целых чисел по модулю n (ℤ/nℤ) мультипликативная группа состоит из классов вычетов, взаимно простых с n. Она обозначается (ℤ/nℤ)ˣ или U(n). Её порядок равен φ(n), где φ — функция Эйлера.

Структура

• Если n — простое число p: (ℤ/pℤ)ˣ — циклическая группа порядка p-1. Это следует из того, что ℤ/pℤ является полем.
• Если n = pᵏ (степень простого): Для нечётного p группа (ℤ/pᵏℤ)ˣ является циклической. Для p=2: (ℤ/2ℤ)ˣ — тривиальная группа {1}; (ℤ/4ℤ)ˣ = {1,3} — циклическая порядка 2; для k≥3 (ℤ/2ᵏℤ)ˣ изоморфна прямому произведению циклической группы порядка 2 и циклической группы порядка 2ᵏ⁻².
• Общий случай: Если n = ∏ pᵢᵏⁱ, то по китайской теореме об остатках (ℤ/nℤ)ˣ ≅ ∏ (ℤ/pᵢᵏⁱℤ)ˣ.

Примеры мультипликативных групп

1. Группа обратимых матриц: Общая линейная группа GL(n, F) — это множество всех обратимых квадратных матриц размера n×n над полем F с операцией умножения матриц. Она неабелева при n>1. Её подгруппа — специальная линейная группа SL(n, F) (матрицы с определителем 1).
2. Группа единиц кольца: В любом кольце с единицей (например, в кольце целых чисел ℤ) множество обратимых элементов (единиц) образует мультипликативную группу. Для ℤ это {1, -1}.
3. Группа корней из единицы: Множество всех комплексных чисел z, таких что zⁿ=1 для некоторого n, образует мультипликативную группу, изоморфную ℚ/ℤ.
4. Группа Галуа: В теории Галуа мультипликативная группа поля может быть связана с группой автоморфизмов расширения.

Применение

Мультипликативные группы играют ключевую роль в:

• Криптографии: Протокол Диффи-Хеллмана и криптосистема Эль-Гамаля основаны на сложности дискретного логарифмирования в мультипликативной группе конечного поля или группы точек эллиптической кривой.
• Теории чисел: Изучение структуры (ℤ/nℤ)ˣ используется для доказательства квадратичного закона взаимности и других теорем.
• Алгебраической геометрии: Мультипликативная группа поля является аффинной алгебраической группой (Gm).
• Физике: В квантовой теории поля мультипликативные группы калибровочных преобразований (например, U(1), SU(2)) описывают фундаментальные взаимодействия.

Интересные факты

• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической. Это фундаментальный результат, доказанный Эваристом Галуа.
• Группа (ℤ/pℤ)ˣ для простого p — это наименьшая нетривиальная циклическая группа, которая может быть вложена в поле.
• В кольце ℤ/nℤ мультипликативная группа может быть нециклической (например, для n=8, (ℤ/8ℤ)ˣ = {1,3,5,7} ≅ C₂ × C₂, где C₂ — циклическая группа порядка 2).

Источники

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
• Херстейн И. Н. Неабелевы группы. — М.: Наука, 1968.