Неархимедово поле

Неархимедово поле — это упорядоченное поле, в котором не выполняется аксиома Архимеда, то есть существует бесконечно малые (или бесконечно большие) элементы. В отличие от стандартных числовых систем, таких как поле действительных чисел R, где для любого положительного числа можно найти натуральное число, превосходящее его по величине, в неархимедовых полях имеются элементы, которые больше любого натурального числа (бесконечно большие) или меньше любого положительного рационального числа (бесконечно малые). Такие поля являются расширениями поля действительных чисел и широко используются в нестандартном анализе, теории моделей и алгебре.

История

Понятие неархимедовых полей восходит к работам немецкого математика Рихарда Дедекинда и итальянского математика Джузеппе Веронезе в конце XIX века. Однако систематическое изучение началось в начале XX века в связи с развитием теории упорядоченных полей. В 1907 году немецкий математик Ганс Ган (Hans Hahn) построил пример неархимедова поля, используя формальные степенные ряды с действительными коэффициентами и упорядочением по лексикографическому принципу. В 1930-х годах Абрахам Робинсон (Abraham Robinson) разработал нестандартный анализ, в котором неархимедовы поля стали основой для строгого определения бесконечно малых величин. В 1960-х годах советский математик Георгий Канторович (не путать с Леонидом Канторовичем) внёс вклад в теорию упорядоченных полей, включая неархимедовы структуры. В России и СССР неархимедовы поля изучались в рамках алгебраической теории чисел и функционального анализа, в частности, в работах И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова.

Определение и основные свойства

Аксиома Архимеда

Упорядоченное поле F называется архимедовым, если для любого элемента a ∈ F, a > 0, существует натуральное число n такое, что n·1 > a (где 1 — единица поля). В противном случае поле называется неархимедовым. Эквивалентно, в неархимедовом поле существует элемент ε > 0, который меньше любого положительного рационального числа: ε < 1/n для всех n ∈ N.

Бесконечно малые и бесконечно большие элементы

В неархимедовом поле можно выделить три типа элементов:

• Бесконечно малые: элементы, абсолютная величина которых меньше любого положительного рационального числа. Например, ε = 1/ω, где ω — бесконечно большой элемент.
• Бесконечно большие: элементы, которые больше любого натурального числа. Например, ω = 1/ε.
• Конечные (ограниченные): элементы, которые не являются ни бесконечно малыми, ни бесконечно большими, то есть существуют натуральные числа n и m такие, что n·1 < |a| < m·1.

Примеры

1. Поле рациональных функций R(x). Рассмотрим поле рациональных функций от переменной x с действительными коэффициентами. Упорядочим его так: функция f(x) > 0, если её значение положительно для всех достаточно больших x. Тогда функция 1/x является бесконечно малой, а функция x — бесконечно большой. Это поле неархимедово.
2. Поле формальных степенных рядов R((x)). Аналогично, ряды вида ∑_{k=n}^∞ a_k x^k с упорядочением по наименьшей степени с ненулевым коэффициентом. Элемент x является бесконечно малым.
3. **Поле гипердействительных чисел *R**. Это расширение действительных чисел, построенное в нестандартном анализе. Оно содержит бесконечно малые и бесконечно большие элементы, но сохраняет все свойства первого порядка действительных чисел.

Классификация

По типу упорядочения

Неархимедовы поля можно классифицировать по структуре их упорядоченной группы (группы аддитивных элементов). Важным классом являются поля с лексикографическим упорядочением, где порядок задаётся по старшему члену разложения. Примеры: поля формальных степенных рядов с действительными коэффициентами.

По размерности

Неархимедовы поля могут быть конечномерными (например, поле комплексных чисел с нестандартным упорядочением) или бесконечномерными (например, поле гипердействительных чисел). В России и СССР изучались неархимедовы поля, являющиеся расширениями поля Q (рациональных чисел) или R (действительных чисел) с трансцендентными элементами.

По алгебраической замкнутости

Некоторые неархимедовы поля алгебраически замкнуты (например, поле комплексных чисел с неархимедовой нормой), другие — нет. В частности, поле гипердействительных чисел является вещественно замкнутым, но не алгебраически замкнутым.

Применение

Нестандартный анализ

Неархимедовы поля, особенно поле гипердействительных чисел, являются основой нестандартного анализа, разработанного Абрахамом Робинсоном. В этом подходе бесконечно малые величины используются для строгого определения производных и интегралов без предельных переходов. Например, производная функции f в точке x определяется как (f(x+ε) - f(x))/ε, где ε — бесконечно малая. Этот метод позволяет упростить доказательства в анализе и теории вероятностей.

Теория моделей

В математической логике неархимедовы поля используются для построения моделей теорий первого порядка, таких как теория вещественно замкнутых полей. Они позволяют изучать свойства, не выразимые в стандартной арифметике, например, существование нестандартных натуральных чисел.

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел неархимедовы поля возникают как пополнения полей алгебраических чисел относительно неархимедовых норм (например, p-адические числа). Хотя p-адические числа не являются упорядоченными, они имеют неархимедову метрику, что родственно понятию неархимедова поля. В работах советских математиков, таких как И. М. Гельфанд и Ю. И. Манин, изучались неархимедовы поля в контексте теории чисел и алгебраической геометрии.

Физика и экономика

В теоретической физике неархимедовы поля используются в квантовой теории поля для регуляризации расходимостей. В экономике и теории игр они применяются для моделирования предпочтений с бесконечно малыми различиями, что позволяет избежать парадоксов, связанных с непрерывностью.

Критика и ограничения

Неархимедовы поля не являются архимедовыми, что приводит к некоторым неинтуитивным свойствам. Например, в таких полях не выполняется принцип Кантора о вложенных отрезках, а также нарушается свойство полноты (в смысле существования точных верхних граней). Это ограничивает их применение в классическом анализе, где архимедовость является фундаментальной. Кроме того, построение неархимедовых полей, таких как гипердействительные числа, требует использования аксиомы выбора или ультрафильтров, что вызывает критику со стороны конструктивистов. В СССР и России неархимедовы поля изучались в основном в рамках фундаментальной математики, и их практическое применение оставалось ограниченным.

Интересные факты

• Поле гипердействительных чисел содержит «нестандартные» натуральные числа, которые больше любого стандартного натурального числа. Это позволяет формализовать интуитивное понятие «бесконечно большого» числа.
• В неархимедовых полях можно определить «теневую» функцию, которая сопоставляет каждому конечному элементу его стандартную часть — ближайшее действительное число.
• Теория неархимедовых полей тесно связана с теорией ультрафильтров и булевых алгебр, что делает её важным инструментом в математической логике.

Источники

• Робинсон А. «Нестандартный анализ». — М.: Мир, 1973.
• Ган Г. «Теория упорядоченных полей». — В кн.: Сборник статей по алгебре. — Л.: Наука, 1967.
• Канторович Г. П. «Упорядоченные поля». — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1985.
• Манин Ю. И. «p-адические числа и неархимедова геометрия». — М.: Мир, 1979.