Объём — физическая величина¶
Объём — физическая величина, характеризующая протяжённость тела в трёх измерениях и численно равная величине пространства, занимаемого этим телом. Обозначается буквой V (от лат. volumen), измеряется в кубических единицах длины: в Международной системе единиц (СИ) — в кубических метрах (м³), внесистемными — в литрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах и других. Объём является скалярной величиной и обладает свойством аддитивности: объём составного тела равен сумме объёмов его частей.
¶Основные понятия и определения
Объём твёрдого тела определяется как величина пространства, ограниченного его поверхностью. Для жидкостей и газов объём зависит от условий (температуры, давления) и потому является переменной величиной. Понятие объёма тесно связано с понятием плотности: масса тела определяется произведением плотности на объём, откуда следует соотношение ρ = m / V, где ρ — плотность, m — масса.
Объём обладает рядом важных свойств:
- Аддитивность — объём целого равен сумме объёмов частей.
- Инвариантность относительно ориентации — объём не меняется при повороте или отражении тела.
- Монотонность — если одно тело целиком содержится в другом, его объём не превышает объём второго.
¶Формулы для основных фигур
Для простейших геометрических тел объём вычисляется по аналитическим формулам:
| Тело | Формула объёма |
|---|---|
| Куб | V = a³ |
| Прямоугольный параллелепипед | V = abc |
| Цилиндр | V = πR²h |
| Конус | V = πR²h / 3 |
| Шар | V = 4πR³ / 3 |
| Пирамида | V = Sоснования · h / 3 |
Здесь a — ребро куба, a, b, c — рёбра параллелепипеда, R — радиус основания (или сферы), h — высота, S — площадь основания.
¶Методы вычисления объёма
¶Интегральное исчисление
Для тел сложной формы объём вычисляется методами математического анализа. При вращении плоской области вокруг оси объём определяется формулой Виньера: V = π∫[a,b] f²(x) dx. Для произвольного тела, ограниченного поверхностью, используется тройной интеграл по области, которую занимает тело.
¶Метод наращивания и вычитания
Практически объём часто вычисляют, разбивая тело на более простые части или вписывая его в параллелепипед. Этот метод применяется при проектировании деталей и расчёте строительных конструкций.
¶Геометрический подход
Для многогранников объём можно найти по формуле Кеплера — Пуассона, обобщающей формулу пирамиды: V = (1/3) · S · h, где суммирование ведётся по всем граням.
¶Единицы измерения объёма
В системе СИ основной единицей объёма является кубический метр (м³). Допустимые производные единицы — кубический дециметр (дм³) и кубический сантиметр (см³). Внесистемная единица, допущенная к применению наряду с единицами СИ, — литр (л), равный одному кубическому дециметру. В технике также используют кубические миллиметры, литры, гектолитры, кубические футы, галлоны и другие единицы, соотношения между которыми закреплены ГОСТ 8.417.
¶Объём в физике и химии
Объём играет ключевую роль в уравнениях состояния идеального газа: pV = νRT, где p — давление, ν — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура. При постоянных давлении и температуре объём газа пропорционален количеству вещества (закон Авогадро).
В гидростатике объём определяет величину выталкивающей силы: по закону Архимеда она равна весу жидкости, вытесненной погружённым телом. В термодинамике работа при изменении объёма выражается интегралом W = ∫ p dV.
¶Объём в математике
В математике понятие объёма обобщается на произвольные множества в евклидовом пространстве. Объём многомерного тела называется мере́й; для трёхмерного случая мера совпадает с обычным объёмом. Понятие объёма лежит в основе интегрального исчисления: определённый интеграл геометрически интерпретируется как площадь под кривой, а тройной интеграл — как объём тела.
¶Применение
Расчёт объёма применяется в строительстве (объёмы земляных работ, бетонирования), в химии (молярные объёмы, измерение количества вещества), в медицине (объём циркулирующей крови, объём лёгких), в пищевой промышленности (ёмкость упаковки), в геологии (объём полезных ископаемых) и во многих других областях.
Источники:
- Иродов И. Е. Задачи по общей физике.
- Савельев И. В. Курс общей физики.
- ГОСТ 8.417 — Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы физических величин.
- Борщевский А. И. Математический анализ.