Парадокс Монти Холла: суть задачи¶

Парадокс Монти Холла — известная вероятностная задача, впервые сформулированная в 1975 году американским статистиком Стивом Селвином по мотивам американского телевизионного шоу «Let’s Make a Deal» («Заключим сделку»), которое вёл Монти Холл. Суть парадокса заключается в том, что интуитивное представление о равной вероятности выигрыша при выборе из двух оставшихся дверей противоречит математическому расчёту, который показывает выгоду от изменения первоначального решения.

¶Формулировка задачи

Перед игроком находятся три закрытые двери. За одной из них — автомобиль (главный приз), за двумя другими — козы (утешительные призы). Игрок выбирает одну дверь, но не открывает её. Затем ведущий, который знает расположение призов, открывает одну из двух оставшихся дверей, за которой всегда находится коза. После этого ведущий предлагает игроку изменить свой выбор и указать на другую неоткрытую дверь.

Вопрос: выгодно ли игроку изменить первоначальный выбор или шансы на выигрыш равны?

¶Интуитивное восприятие и математическое решение

Большинство людей считают, что после открытия ведущим одной двери шансы на автомобиль за каждой из двух оставшихся дверей становятся равными (по 50 %), поэтому менять выбор бессмысленно. Однако это рассуждение ошибочно, поскольку оно игнорирует начальные условия и поведение ведущего.

Математически вероятность выигрыша при сохранении первоначального выбора составляет 1/3, а при изменении выбора — 2/3. Это следует из того, что изначально игрок с вероятностью 2/3 выбирает дверь с козой. В этом случае ведущий вынужден открыть единственную оставшуюся дверь с козой, и вторая неоткрытая дверь гарантированно содержит автомобиль. Если же игрок изначально выбрал автомобиль (вероятность 1/3), ведущий открывает любую из двух дверей с козами, и смена выбора приводит к проигрышу.

¶Условия применимости

Парадокс корректен только при соблюдении следующих условий:

• ведущий всегда открывает дверь с козой, независимо от первоначального выбора игрока;
• ведущий всегда предлагает игроку изменить выбор;
• ведущий знает расположение призов и никогда не открывает дверь с автомобилем.

Если ведущий действует иначе (например, открывает дверь только в некоторых случаях или случайно), вероятностная оценка меняется. В частности, если ведущий открывает случайную дверь из двух оставшихся и она оказывается с козой, шансы становятся равными (по 50 %).

¶История и распространение

Задача получила широкую известность после публикации в журнале Parade в 1990 году в рубрике Мэрилин вос Савант, которая на тот момент была занесена в Книгу рекордов Гиннесса как обладательница самого высокого IQ. Она дала правильный ответ — менять выбор выгодно, — что вызвало поток писем с возражениями, в том числе от преподавателей математики и обладателей докторских степеней. Впоследствии корректность её решения была подтверждена как теоретически, так и экспериментально, в том числе с помощью компьютерного моделирования.

¶Значение и применение

Парадокс Монти Холла иллюстрирует разницу между интуитивным восприятием случайности и строгим вероятностным анализом. Он используется в преподавании теории вероятностей и статистики, а также в психологии для изучения когнитивных искажений. Задача имеет практические аналогии в принятии решений, когда новая информация (открытие двери) изменяет вероятностную оценку, но не симметрично, а с учётом априорных вероятностей и правил, по которым эта информация предоставляется.

¶Критика и ограничения

Некоторые исследователи отмечают, что парадокс в значительной степени зависит от неявных допущений о стратегии ведущего. В реальном телешоу Монти Холл не всегда предлагал участникам изменить выбор, что делает классическую формулировку идеализированной моделью. Кроме того, задача часто вызывает споры из-за разницы между частотной и субъективной интерпретациями вероятности. Тем не менее в рамках заданных условий математическое решение является однозначным.

¶Источники

• Селвин С. «Письмо в редакцию» // The American Statistician, 1975.
• вос Савант М. «Ask Marilyn» // Parade, 1990.
• Гнеденко Б. В. «Курс теории вероятностей», 1988.