Периметр геометрической фигуры¶

Периметр — это суммарная длина всех сторон плоской геометрической фигуры или, в более общем случае, длина замкнутой границы, ограничивающей некоторую область на плоскости. Периметр является одной из базовых характеристик фигуры наряду с площадью и выражается в единицах длины: миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах и производных от них. Термин происходит от греческих слов περι (вокруг) и μετρέω (измеряю), то есть буквально означает «измерение вокруг».

¶Основные сведения

Периметр обозначается латинской буквой P. Для многоугольника он равен сумме длин всех его сторон. Для фигуры с криволинейной границей (например, окружности) периметр понимается как длина ограничивающей кривой и вычисляется по специальным формулам или через предельный переход. В школьном курсе математики периметр изучается одним из первых среди геометрических понятий, поскольку он интуитивно понятен и связан с измерением расстояний.

Понятие периметра тесно связано с понятием длины. Если граница области спрямляема, то есть имеет конечную длину, периметр существует и равен этой длине. Для большинства фигур, рассматриваемых в элементарной геометрии, граница спрямляема.

¶Формулы для основных фигур

Для простейших многоугольников формулы периметра выводятся непосредственно из определения.

Для окружности периметр часто называют длиной окружности. Формула длины окружности была известна ещё в античности; отношение длины окружности к её диаметру, обозначаемое греческой буквой π, является иррациональным числом.

¶Свойства

Периметр обладает рядом свойств, полезных при решении задач.

• При увеличении линейных размеров фигуры в k раз периметр увеличивается в k раз (свойство масштабирования).
• Среди всех фигур заданной площади наименьший периметр имеет круг; это утверждение называют изопериметрическим неравенством.
• Среди всех четырёхугольников заданной площади наименьший периметр имеет квадрат.
• Периметр объединения фигур не равен, вообще говоря, сумме их периметров, поскольку часть границ может оказаться внутри объединения.

Изопериметрическая задача — одна из классических задач вариационного исчисления: найти замкнутую кривую заданной длины, охватывающую наибольшую площадь. Её решение — окружность.

¶Вычисление периметра сложных фигур

Для фигур сложной формы периметр вычисляют, разбивая границу на простые участки (отрезки, дуги) и суммируя их длины. Если граница задана аналитически, длина кривой вычисляется с помощью определённого интеграла. Для произвольной гладкой кривой, заданной параметрически, длина дуги выражается интегралом от модуля производной.

В практических приложениях периметр измеряют приближённо: с помощью линейки, мерной ленты, курвиметра или путём обхода границы с фиксацией координат точек. В геодезии и картографии периметр участка определяют по координатам вершин, вычисляя длины сторон по формулам аналитической геометрии.

¶Применение

Понятие периметра широко используется в самых разных областях.

• В строительстве и архитектуре — при расчёте количества материалов для ограждений, фундаментов, отделки по контуру здания или помещения.
• В землеустройстве и кадастре — для определения длины границ земельных участков.
• В геодезии и картографии — при измерении контуров объектов на местности и картах.
• В математике — в задачах оптимизации, в теории экстремальных задач, в доказательствах неравенств.
• В программировании — при работе с графикой, распознаванием образов и вычислением характеристик контуров.
• В быту — при раскрое материалов, планировании заборов, укладке плинтусов и бордюров.

Отдельное значение термин имеет в военном деле: периметром называют внешнюю границу охраняемого объекта или оборонительный контур, а также линию охранения. Это значение возникло как переносное, но закрепилось в профессиональной речи.

¶Периметр и площадь

Периметр и площадь — разные характеристики фигуры, и их не следует смешивать. Две фигуры могут иметь одинаковую площадь, но разный периметр, и наоборот. Например, прямоугольники 1×4 и 2×2 имеют одинаковую площадь 4, но периметры 10 и 8 соответственно. Единственная фигура, у которой при заданной площади периметр минимален, — круг; среди прямоугольников эту роль выполняет квадрат.

¶Интересные факты

• Изопериметрическое неравенство было известно ещё в Древней Греции; строгое доказательство получено значительно позже.
• Число π, используемое в формуле длины окружности, вычислено с точностью до десятков триллионов знаков.
• Существуют фрактальные кривые конечной площади, но бесконечного периметра, например кривая Коха.
• В ряде языков для периметра используются собственные термины, не совпадающие с русским.

¶Источники

• Учебники геометрии для средней школы.
• Математическая энциклопедия.
• Справочники по элементарной математике.
• Материалы по изопериметрической задаче.