Окружность и круг определение¶

Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки, называемой центром. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включающая саму окружность и все точки внутри неё. Оба понятия являются фундаментальными в геометрии Евклида и широко применяются в математике, физике, инженерии и архитектуре.

¶Определения и основные элементы

Окружность определяется как геометрическое место точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом (обозначается \( r \)). Термин «радиус» также применяется к отрезку, соединяющему центр с любой точкой окружности.

Ключевые элементы окружности:

• Центр — точка, равноудалённая от всех точек окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр. Диаметр равен двум радиусам (\( d = 2r \)) и является самой длинной хордой.
• Дуга — часть окружности, заключённая между двумя её точками.
• Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Круг, в отличие от окружности, представляет собой двумерную фигуру (область), а не линию. Границей круга является окружность.

¶История понятия

Изучение окружности началось в глубокой древности. Вавилонские математики использовали приближение числа \( \pi \) (отношение длины окружности к диаметру) равное 3. Древнегреческий математик Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) систематизировал свойства окружности и круга, определив их аксиоматически. Архимед (III век до н. э.) вычислил значение \( \pi \) с высокой для своего времени точностью, заключив его между \( 3\frac{10}{71} \) и \( 3\frac{1}{7} \).

¶Основные свойства и формулы

Окружность и круг обладают рядом уникальных свойств:

1. Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2\pi r \).
2. Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \).
3. Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90 градусам (теорема Фалеса).
4. Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
5. Свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, если они пересекаются внутри круга.

Окружность является частным случаем эллипса, у которого оба фокуса совпадают в центре. Также окружность — это линия постоянной кривизны.

¶Классификация и связанные понятия

В зависимости от взаимного расположения двух окружностей выделяют:

• Концентрические окружности — имеют общий центр, но разные радиусы.
• Пересекающиеся окружности — имеют две общие точки.
• Касающиеся окружности — имеют одну общую точку (внешнее или внутреннее касание).
• Непересекающиеся окружности — не имеют общих точек.

В аналитической геометрии окружность задаётся уравнением \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), где \( (a, b) \) — координаты центра. В полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид \( \rho = r \).

¶Применение

Окружность и круг находят применение в огромном количестве областей:

• Математика: тригонометрия (единичная окружность), комплексный анализ, топология.
• Физика: моделирование вращательного движения, орбиты планет (в первом приближении), волновые фронты.
• Техника: проектирование колёс, подшипников, шестерёнок, резервуаров и труб.
• Архитектура и строительство: арки, купола, ротонды, круглые окна (розы).
• Картография и навигация: меридианы и параллели, круги на небесной сфере.

В повседневной жизни круглые формы используются благодаря их свойству равномерного распределения нагрузки и минимальной длине границы при заданной площади (изопериметрическое неравенство).

¶Интересные факты

• Отношение длины окружности к её диаметру является иррациональным числом \( \pi \), которое не может быть выражено конечной десятичной дробью.
• Круг — фигура с бесконечной осью симметрии: любая прямая, проходящая через центр, делит его на две равные части.
• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180 градусов, а свойства окружности существенно отличаются от евклидовых.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. «Геометрия. 7–9 классы». Учебник для общеобразовательных организаций.
• Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы».
• Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. — М.: Физматгиз, 1963.